备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点34 直线与方程.docx

专题34直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．

（2）范围：直线l倾斜角的范围是．

2．斜率公式

（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．

（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．

二、直线的方程

1．直线方程的五种形式

方程

适用范围

①点斜式：

不包含直线

②斜截式：

不包含垂直于x轴的直线

③两点式：

不包含直线和直线

④截距式：

不包含垂直于坐标轴和过原点的直线

⑤一般式：不全为

平面直角坐标系内的直线都适用

2．必记结论

常见的直线系方程

（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0.

（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．

（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0.

（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

考向一直线的倾斜角与斜率

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．

典例1若两直线的倾斜角和斜率分别为和，则下列四个命题中正确的是

A．若，则两直线的斜率： B．若，则两直线的斜率：

C．若两直线的斜率：，则 D．若两直线的斜率：，则

【答案】D

【解析】当，时，满足，但是两直线的斜率，选项A说法错误；

当时，直线的斜率不存在，无法满足，选项B说法错误；

若直线的斜率，，满足，但是，，不满足，选项C说法错误；

若两直线的斜率，结合正切函数的单调性可知，选项D说法正确.

本题选择D选项.

【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

典例2若直线经过，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由直线经过，两点，可利用斜率公式得.

由，则倾斜角的取值范围是.故选B.

1．已知点，，直线l的方程为，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为

A．或 B．或

C． D．

考向二直线的方程

求直线方程的常用方法有

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

4.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.

典例3已知，则过点和线段的中点的直线方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知线段的中点坐标为，即.

故所求直线方程为，整理，得.

故选B.

典例4△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上中线AD所在直线的方程；

（3）BC边的垂直平分线DE的方程．

【解析】（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，

所以由两点式得BC的方程为，即x+2y-4=0.

（2）设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则.

BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，

由截距式得AD所在直线的方程为，即2x－3y＋6＝0.

（3）由（1）知，直线BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由（2）知，点D的坐标为(0,2).

由点斜式得直线DE的方程为y－2=2(x－0)，即.

【思路分析】

2．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线

A．y?x=1 B．y+x=3

C．y=2x或