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平面图形的几何性质Geometricpropertiesofplanefigure
平面图形的几何性质GeometricpropertiesofplanefigureA.1静矩与形心A.2惯性矩与惯性积A.3平行移轴公式A.4转轴公式*
A.1静矩与形心
A.1静矩与形心设任意形状平面图形如图所示，其面积为A，建立图示Oyz直角坐标系。任取微面积dA，其坐标为(y,z)，则积分分别称为平面图形对轴y与轴z的静矩或一次矩（Momentofarea）。平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩也就不同。因此静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲为长度的三次方。
A.1静矩与形心设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板板面形状如图所示。均质薄板的重心:均质板重心与其平面图形的形心重合。若yC=0或zC=0，则Sz=0或Sy=0；平面图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过平面图形的形心。通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。
A.1静矩与形心【例题A.1】求如图所示半圆形的静矩Sy，Sz及形心C位置。已知圆的半径为R。
A.1静矩与形心解（1）求静矩取平行于轴的狭长条为微面积dA，则（2）求形心坐标
A.1静矩与形心根据静矩的定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩。Ai和yCi，zCi分别表示任一组成部分的面积及其形心的坐标。组合图形形心坐标的计算公式为
A.1静矩与形心【例题A.2】试确定如图所示图形形心C的位置。
A.1静矩与形心选取图示参考坐标系Oyz，并将图形划分为Ⅰ和Ⅱ两个矩形。得组合图形形心C的纵坐标为
A.2惯性矩与惯性积
A.2惯性矩与惯性积设任意形状平面图形如图所示。其图形面积为A，任取微面积dA，则积分分别称为平面图形对轴y与轴z的惯性矩或二次矩（Momentofinertia）。惯性矩Iy和Iz恒为正，其量纲为长度的四次方。iy和iz分别称为平面图形对轴y和轴z的惯性半径（Radiusofinertia）。惯性半径的量纲为长度。
A.2惯性矩与惯性积若以r表示微面积dA到坐标原点的距离，则下述积分定义为平面图形对坐标原点的极惯性矩或二次极矩（Polarmomentofinertia）。平面图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
A.2惯性矩与惯性积定义积分定义为平面图形对轴y,z的惯性积Iyz可能为正，为负或为零。量纲是长度的四次方。如果图形有一个（或一个以上）的对称轴，则图形对包含此对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。
A.2惯性矩与惯性积【例题A.3】求实心和空心圆对形心的极惯性矩和对形心轴的惯性矩。(1)实心圆极惯性矩图形对称，惯性矩
A.2惯性矩与惯性积(2)空心圆极惯性矩令惯性矩
A.2惯性矩与惯性积【例题A.4】求矩形图形对形心轴的惯性矩。微面积取宽为dy，高为h且平行于轴z的狭长矩形，即矩形图形对轴z的惯性矩为矩形图形对轴y的惯性矩为
A.2惯性矩与惯性积组合图形的惯性矩当一个平面图形是若干个简单的图形组成时，根据惯性矩的定义，可先计算出每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和，即得整个图形对于这一轴的惯性矩。用公式表达为
A.2惯性矩与惯性积【例题A.5】计算图示工字形图形对形心轴y的惯性矩本例可采用负面积法
A.3平行移轴公式
A.3平行移轴公式如图所示，设C为平面图形的形心，yC和zC是通过形心的坐标轴，图形对形心轴的惯性矩和惯性积已知若轴y平行于轴yC，且两者的距离为a；轴z平行于轴zC，且两者的距离为b。图形对轴y和轴z的惯性矩和惯性积分别为
A.3平行移轴公式
A.3平行移轴公式上式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。应用时要注意a和b是图形的形心C在Oyz坐标系中的坐标，它们有正负。由上式可知，平面图形对所有平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。
A.3平行移轴
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