专题17 手拉手旋转模型证相似（解析版）.pdfVIP

专题17手拉手旋转模型证相似

1．如图1，P是四边形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，BD，ÐABD=ÐPCD=90°，

CP=CD，AB=DB，ÐAPB=135°．

（1）求证：DBCD∽DAPD．

2

（2）若PA=2，PB=．求PC的长．

2

（3）如图2，ÐABD=ÐPCD=ÐAPB=120°，CP=CD，AB=DB，请直接写出PA，PB，PC

之间的数量关系．

【解答】（1）证明：QÐABD=ÐPCD=90°，CP=CD，AB=BD，

\DPCD与DABD都是等腰直角三角形，

\ÐCDP=ÐBDA=45°，

CDBD2

\==，

PDAD2

\ÐCDB=ÐPDQ，

\DBCD∽DAPD；

（2）解：QDBCD∽DAPD，

BCBD2

\ÐAPD=ÐBCD，==，

PAAD2

22

\BC=PA=´2=1，

22

QÐCPD+ÐBPA=45°+135°=180°，

\ÐAPD+ÐBPC=180°，

\ÐBCD+ÐBPC=180°，

\ÐDCP+ÐBCP+ÐBPC=180°，

\90°+ÐBCP+ÐBPC=180°，

\ÐBCP+ÐBPC=90°，

\ÐCBP=90°，

\BC2+PB2=PC2，

2222

\1+()=PC，

2

6

\PC=（负值舍去），

2

1222

（3）解：PA+PB=PC，理由如下：

3

如图，过点C作CE^PD于点E，

则ÐCED=90°，

QCP=CD，

1

\ÐCDP=(180°-ÐPCD)

2

1

=(180°-120°)

2

=30°，

\DP=2DE，

DE3

\cosÐCDE=cos30°==，

CD2

PD

\=3，

CD

同理，AB=BD，ÐABD=120°，

AD

\ÐBDA=30°，=3，

BD

PDAD

\==3，ÐBDA=ÐCDP，

CDBD

\ÐPDA=ÐCDB，

\DPDA∽DCDB，

BC13

==

\，