《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》教案（2024年）.docx

第八章立体几何初步

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

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一、教学目标

1.了解空间两条直线之间的位置关系，理解异面直线的概念以及简单应用．

2.掌握直线与平面的位置关系并能画图表示，能用数学符号准确表示出位置关系．

3.掌握平面与平面的位置关系并能画图表示，能用数学符号准确表示出位置关系．

4.能够综合处理点、直线、平面之间的位置关系，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力，帮助学生提升直观想象和空间观念等学科素养.

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二、教学重难点

重点：空间直线、平面的位置关系

难点：会用三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）描述空间直线、平面的位置关系并会简单应用.

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三、教学过程

（一）创设情境

情境：世界万物都可以看作是点、线、面、体等空间元素组成的，这些空间元素是如何有序排列的呢？他们之间的位置关系是怎样的呢？

当太阳从东方的地平线徐徐升起时，太阳与海平面的位置关系可以看作点与平面的关系；小鸟站在高压线上，小鸟和高压线的关系可以抽象出点与直线的位置关系，在繁华都市里，充满现代感的高楼大厦，楼顶与地面平行，相邻侧面相交，这些都是点、先、线、面的关系在生活中的体现.

那么，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？这就是我们这节课所要学习的内容．

设计意图：通过感受生活实例，直观感知空间中物体之间的位置关系，抽象出平面中的点、直线、平面之间的位置关系，提出问题，引入新课．

（二）探究新知

任务一：借助长方体，探究空间中两直线之间的位置关系.

思考１：空间中点与直线的位置关系是怎样的？点与面的位置关系是怎样的？

答：空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；

如：A

空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外；

如：A

思考2：在长方体ABCD?ABCD中，与直线AB

答案：与直线AB平行的棱：A

与直线AB相交的棱：AA

思考3：直线AB与直线CC

答案：既不想交也不平行，它们是异面直线.

总结：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．如：直线AB与直线CC既不平行，也不相交，是异面直线.

思考：你还能找出与直线AB异面的其它直线吗？空间两条直线的位置关系有几种情形？

答案：直线BC、直线A

空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线．

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．

设计意图：通过层层递进的问题设置，引导学生得出直线与直线的位置关系的所有情形，培养学生探究学习的能力.

说一说：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，如何作图呢？

答案：通常用一个或两个平面衬托，如下图所示．

思考：分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？

答案：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b=O，所以

设计意图：通过“说一说”设置，让学生尝试异面直线的作图以及对概念的辨析，进一步加深理解直线与直线的位置关系.

任务二在空间中，探究直线与平面的位置关系

探究1：观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．你发现了什么？

答案：教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系如下图所示：

手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系，如下图：

探究2：以长方体ABCD?ABCD

（1）直线AB与平面ABCD有几个公共点？

（2）直线AA与平面ABCD有几个公共点？

（3）直线AB与平面ABCD有几个公共点？

答：（1）直线AB与平面ABCD没有公共点．

（2）直线AA与平面ABCD只有一个公共点A；

（3）直线AB与平面ABCD有无数个公共点；

说一说：直线与平面的位置关系有哪些？如何用图形表示呢？

直线与平面平行直线与平面相交直线在平面内

定义：

如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；

如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；

如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内．

设计意图：通过生活中的案例，让学生感受直线与平面的位置关系，另外，从交点个数的角度再一次理解直线与平面的位置关系，最后形成结论.

任务三：探究平面与平面的位置关系

思考1：观察长方体ABCD?ABCD，它的上、下底面有没有公共点？下底面与平面BCC

答案：长方体的上、下底面无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面BCCB有一条公共

思考2：平面与平面的位置关系有哪些情形呢？如何判定平面与平面的位置关系呢