数值积分（基于MATLAB）课件 chapter3 解线性方程组的直接方法 .pptx

第3章解线性方程组的直接方法;3.1引言

在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。;第3章解线性方程组的直接法;线性方程组的数值解法一般有两类：

直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），如克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。

迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解);3.2高斯消去法;（1）消元过程

第1步:将方程①乘上(-2)加到方程②上去,将方程①乘上加到方程③上去,这样就消去了第2、3个方程的项,于是就得到等价方程组;第2步：将方程④乘上加到方程⑤上去，这样就消去了第3个方程的项，于是就得到等价方程组;前述的消元过程相当于对原方程组;由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素,而将Ax=b化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变量。这种求解上三角方程组的方法称为回代,通过一个方程乘或除以某个常数,以及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为消元,然后再回代求解。;高斯消去法算法

我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为;⑴消元过程,高斯消去法的消元过程由n-1步组成：

第1步设,把(3.3)中的第一列中元素

消为零,令;第k步（k=2,3,…,n-1）继续上述消元过程，设第k-1次消元已经完成，得到与原方程组等价的方程组;其中;只要,消元过程就可以进行下去,直到经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与原方程组等价的上三角形方程组,记为;;（3）高斯消去法的计算步骤：

①消元过程;设计算;(4)Gauss消去法计算量≈;第k步;;设方程组系数矩阵，其顺序主子式;定义3.1设矩阵每一行对角元素的绝对值都大于同行其他元素绝对值之和;一般线性方程组使用高斯消去法求解时，在消元过程中可能会出现的情况，这时消去法将无法进行；即使，但它的绝对值很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，将严重影响计算结果的精度。实际计算时必须避免这类情况的发生。主元素消去法就可弥补这一缺陷。;基本思想：每次消元之前在系数矩阵中按一定的范围选取绝对值最大的元素作为主元素，以便减少舍入误差的影响。

交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k)为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法

根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法

列主元素法：在待消元的所在列中选择主元，经方程的变换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。

全主元素：在全体待选系数中选取主元，则得全主元素法。

;主元素法的意义;这时;每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证。;例3.3用全主元素法解下列线组;计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1

(5)-m21(4),(6)-m31(4)消去x2得;保留有主元素的方程;列主元素法;例3.4用列主元素法解下列线性方程组;(5)-m21(4),(6)-m31(4)得;保留有主元素的方程;例3.5用矩阵的初等行变换求解解方程组;;所以，等价的三角形方程组为：;3.3矩阵三角分解法;;方程组Ax=b的系数矩阵A经过顺序消元逐步化为上三角型A(n),相当于用一系列初等变换左乘A的结果。事实上，第1列消元将A(1)=A化为A(2)，若令：;第2列消元将A(2)化为A(3)，若令：;;;L为由乘数构成的单位下三角阵，U为上