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试卷3
(10分)已知反映某实际问题的数学模型为，经测量所得,测量仪器的误差限为0.002，
试求出的误差限和相对误差限；
2、判定近似函数值有几位有效数字.
解：
………6分…………8分
因为的误差限，所以有1位有效数字.…………10分
二、（18分）设节点
用Langrange插值和牛顿插值求三个节点的二次插值多项式；
当增加一个条件：时，求对应的三次Hermite插值多项式
解：1、
…………6分
0
-1
-2
***
***
1
0
-3
-1
***
2
1
0
3
2
…………12分
设
…………18分
三、(10分)求函数在给定区间上对于权函数，的最佳平方逼近多项式.
解：，
，，
.
解法方程得，因此所求多项式.…………10分
四、（10分）方程，讨论如下几种迭代求根公式在区间上的敛散性：
1、改写方程为，相应的迭代格式为；
2、改写方程为，相应的迭代格式为.
解：1、令，则，由于
，因此迭代发散.
2、令，则，由于
，当时，，因此迭代收敛。………10分
五、（10分）已知
(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式（即求系数）
；
(2)该求积公式所具有的代数精度是多少？
解：(1)所求插值型的求积公式形如：
故。
或：由三点插值型求积公式的代数精度至少为2，将代入上述公式，可得
所以…6分
（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得
………8分
故代数精度是3次.……………10分
六、（10分）取,用改进的Euler方法求初值问题在处的近似值.（计算过程保留5位小数.）
解：改进的Euler公式为
得到；………7分
得
x
y
0.5
1.125
1
1.390625
………10分
七、（10分）利用矩阵的LU分解法解方程组.
解：6分
令得，得.10分
八、（11分）利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：
将计算结果填入下表(*号处不填).（小数点后保留5位小数）
0
***
***
***
1
***
***
2
***
3
解，, ,
,
, ,,,
,,
.
0
16
***
***
***
1
16.94428
17.25904
***
***
2
17.22774
17.32223
17.32644
***
3
17.30600
17.33209
17.33275
17.33285
………10分
九、（12分）分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：
的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。
解:Jacibo迭代公式为:
Gauss-Seidel迭代公式为:
………8分
(2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中
,
所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵
.
可求得所以,
所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.………12分
试卷4
一、填空(54=20分)
1.的相对误差约是的相对误差的倍.
2.对于个节点的插值求积公式至少具有＿n＿次代数精度。
3.用二分法求非线性方程在区间内的根时，二分次后的误差限为..
4.已知,则条件数=_____9____.
5.设，则差商1.
二、(14分)给定数表
-1
0
1
2
-1
1
2
0
1.用Lagrange插值求满足的三次插值多项式；
2.当增加一个条件：时，求对应的四次Hermite插值多项式
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