外接球、内接球课件-2025届高三数学二轮复习.pptxVIP

几何体的外接球、内接球;

前言

几何体的外接球、内切球问题，是空间几何的难点，体现了空间想象能力，同时也是高考中的热点。特别对几何体的外接球的计算问题时常出现，有一定的难度。下面总结一下，仅供参考。;类型一、直棱柱、圆柱的外接球

题型1.直棱柱的外接球（以三棱柱、长方体为主）;1.三棱柱外接球

①根据，求出的外接圆半径

②若三棱柱的高为

③外接球的半径为

则;2.长方体的外接球

若长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球半径

;例1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（????）

A． B． C． D．

答案：A;例2.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，

其中若，当四棱锥的体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（????）;

A． B． C． D．

答案：B;题型2.圆柱的外接球

①若圆柱的底面半径为，高为

②外接球的半径为

则

;类型二、直棱柱、圆柱的内切球

不是所有的直棱柱、圆柱都有内切球。

内切球不仅与棱柱的各个侧面，或者圆柱的侧面相切，同时必须与上、下底面相切。

下面以三棱柱、正方体、圆柱的内切球说明问题。;

直三棱柱内切球直观图正方体内切球直观图

棱柱的高为内切球的直径正方体的边长为内切

球的直径;圆柱内切球的直观图

圆柱的高与底面直径相等；

内切球的直径等于圆柱的高，

等于底面直径。;

从直棱柱、圆柱的内切球的直观图中，可以看出：

①棱柱、圆柱内不一定存在内切球；

②若存在内切球，则内切球的

直径就是棱柱、圆柱的高。

;类型三、棱锥的外接球

模型1.三棱锥----墙角模型（存在三条棱两两垂直）

;解决方法：

三棱??长方体

;处理方法：

①通过线线垂直的判定，确定棱锥中其中一条棱垂直底面；

②以此棱为标准，以底面中的两棱为基础，作（补体）长方体；

③长方体的外接球即为三棱锥的外接球；

④长方体的体对角线为外接球的直径。

;例3.在三棱锥中，,底面是边长为的正三角形，,则此三棱锥外接球的体积为。

答案：;例4.在三棱锥中，

,二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（）

A.B.

C.D.;【分析】根据条件，判定为等腰直角三角形，

根据二面角的定义，利用余弦定理，得到

以为棱构造正方体。

外接球的半径为，

则外接球的表面积为

故选D;;例5.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，,

，且

求四棱锥的外

接球的表面积。

;;模型2.三棱锥----垂面模型（一条棱垂直底面）

解决方法：（1）补体

以底面为底面，垂直底面的棱为高，补成一个直三棱柱。

;根据底面三角形的条件，利用正弦定理：

求出底面三角形的外接圆的半径，若垂直底面的棱长为，则几何体的外接球的半径

;（2）根据几何性质，判定球心位置：

①根据正弦定理求出底面外接

圆半径，为外接

圆的直径；

②的中点必为球心；

③

;例6.已知在同一个球面上，且为正三角形，，,该球的体积为.

答案：;模型3.三棱锥----切瓜模型（两个侧面垂直）