专题04 半角模型-（教师版）.pdfVIP

半角模型

考向1正方形中的半角模型

【母题来源】2021年中考黑龙江省齐齐哈尔卷

【母题题文】综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．

（1）∠EAF＝45°，写出图中两个等腰三角形：△AEF，△CEF，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；

转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．

（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为PQ＝BP+DQ；

（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则=

2；

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．

222

（4）求证：BM+DN＝MN．

【答案】（1）解：如图1中，

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∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，

∴ABC，△ADC都是等腰三角形，

∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，

1

∴∠EAF=（∠BAC+∠DAC）＝45°，

2

∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴BE＝DF，AE＝AF，

∵CB＝CD，

∴CE＝CF，

∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，

故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．

（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．

理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，

∴△ADQ≌△ABT（SAS），

∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，

∵∠PAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，

∵AP＝AP，

∴△PAT≌△PAQ（SAS），

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∴PQ＝PT，

∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，

∴PQ＝BP+DQ．

故答案为：PQ＝BP+DQ．

（3）解：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2AB，

∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，

∴∠BAM＝∠CAQ，

∴△CAQ∽△BAM，

∴==2，

2

故答案为：．

（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠DAN+∠BAM＝45°，

∵∠DAN＝∠BAR，

∴∠BAM+∠BAR＝45°，

∴∠MAR＝∠MAN＝45°，

∵AR＝AN，AM＝AM，

∴△AMR≌△AMN（SAS），

∴RM＝MN，

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∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，

∴∠RBM＝90°，

222

∴RM＝BR+BM，

∵DN＝BR，MN＝RM，

222

∴BM+DN＝MN．

【试题解析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，

可得结论．

（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论．