专题26 平行四边形的存在性问题（教师版）.pdfVIP

平行四边形的存在性问题

考向二次函数中的平行四边形的存在性问题

【母题来源】2021年中考西藏卷

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【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A

的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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【答案】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x+bx+c得：

0=−1−+=4

，解得，

5==5

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∴抛物线的解析式为y＝﹣x+4x+5；

（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

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在y＝﹣x+4x+5中，令y＝0得﹣x+4x+5＝0，

解得x＝5或x＝﹣1，

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∴B（5，0），

∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，

∴∠CBO＝45°，∵PD⊥x轴，

∴∠BQD＝45°＝∠PQH，

∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH=，

2

∴当PQ最大时，PH最大，

设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，

∴k＝﹣1，

∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，

2

设P（m，﹣m+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），

225225

−+

∴PQ＝（﹣m+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m+5m＝﹣（m），

24

525

∵a＝﹣1＜0，∴当m=时，PQ最大为，

24

5535

∴m=时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；

224

（3）存在，理由如下：

2

抛物线y＝﹣x+4x+5对称轴为直线x＝2，

2

设M（s，﹣s+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），

①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

25+0

=

22=3

∴2，解得，

−+45+0+5=−3

=

22

∴M（3，8），

②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中