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专题28二次函数综合题——存在性正方形类
=2++:=−1(0,−1)
1.如图,已知抛物线的对称轴为直线,且与y轴的交点坐标为,直线l与x
轴相交于点C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图,点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,过点P作⊥轴,⊥,垂足分别为A,B.设点P
的横坐标为m.当四边形为正方形时,求m的值.
【答案】(1)y=x2+2x−1
(2)0或1
【分析】(1)利用待定系数法解答,即可;
(2)根据题意可得P(m,m2+2m−1),A(m,0),m−1,再由正方形的性质可得PA=AC,从而得到关于m的
方程,即可求解.
【详解】(1)解:根据题意得:
b
−=−1b=2
2×1,解得:c=−1,
c=−1
抛物线的解析式为y=x2+2x−1;
(2)解:∵直线l:x=−1与x轴相交于点C.
点C(−1,0),
∵PA⊥x轴,PB⊥l,垂足分别为A,B.点P的横坐标为m.
P(m,m2+2m−1),A(m,0),m−1,
AC=m−(−1)=m+1,PA=|m2+2m−1|,
APBC
∵四边形为正方形,
PA=AC,
m+1=|m2+2m−1|,
m=−2m=1m=−3m=0
解得:(舍去)或或(舍去)或,
综上所述,m的值为0或1.
【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题,涉及了求二次函数的解析式,正方形的性质,利用数形结
合思想解答是解题的关键.
12
=−++(6,0)
2.如图,抛物线2与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C.点B坐标为,点C坐标
为(0,6),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点M是抛物线上的动点,过点M作∥轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,在坐标平面内是否存在
点Q,使得以线段为对角线的四边形为正方形,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明
理由.
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【答案】(1)y=−2x+2x+6,D(2,8)
(2)存在,(2,−2+217)或(2,−2−217)
BCD
【分析】(1)由、的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式,再求其顶点即可;
MNPxQQ
(2)由于、两点关于对称轴对称,可知点为对称轴与轴的交点,点在对称轴上,可设出点的坐标,
MQ
则可表示出的坐标,代入抛物线解析式可求得点的坐标.
−18+6b+c=0
BC
【详解】(1)解:把、两点坐标代入抛物线解析式可得c=6,
b=2
解得c=6,
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