材料力学课件：能量法及其应用.pptx

1能量法及其应用固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。应用能量原理求解变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称为能量法。能量法是进一步研究变形体力学的重要基础，如广泛应用的有限单元法、近似计算法（瑞利-里兹法）等都与能量原理有关。

2分析过程简单，应用范围广泛。包括--可以确定结构上任意点、沿任意方向的位移；--可以确定位移函数；既可以确定位移，又可以确定内力和应力；--既适用于线弹性问题，又适用于非线弹性问题；--可直接用于求解超静定问题。能量法的优点及应用范围

3本章重点本章难点本章重点与难点杆件变形能计算互等定理单位荷载法图形互乘法能量法求解超静定问题虚功原理?单位荷载法能量法求解超静定问题

4第11章能量法及其应用§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法

511.1应变能的计算弹性应变能弹性体由于变形而储存在弹性体内部的能量，称之为弹性应变能或弹性变形能。记作Vε。功能原理弹性体在外力作用下发生变形，荷载在其相应的位移上做功（记为W）。忽略动能等其他能量损耗，外力功在数值上等于弹性体积蓄的变形能。--功能原理

6回顾：线弹性体的应变能准静态加载，0缓慢?FP材料线弹性小变形荷载-位移曲线由功能原理应变能单位--J，1J=1N?mFP-广义力；Δ-广义位移

7基本变形形式下杆件的应变能轴向拉压变形杆件微段的应变能E=const,FN=const等直杆轴向拉压杆的应变能

8扭转变形杆件微段的应变能G=const,T=const等直杆扭转杆的应变能基本变形形式下杆件的应变能（续）

9平面弯曲变形梁微段的应变能平面弯曲梁的应变能杆件线弹性应变能的计算（续）计及剪切应变能k为截面修正系数-矩形截面k=6/5-圆截面k=10/9-工字截面k=A/A1

10例11-1图示圆截面拉杆，弹性模量为E，受力和尺寸如图，求杆的应变能。解：杆可分为两段轴力为常数的等直杆其中：

11解：梁的弯矩方程为该平面弯曲梁的应变能为例11-2如图所示悬臂梁，自由端作用一集中力FP和一力偶矩Me，EI为常数，求梁的应变能。

12例11-3如图所示桁架结构，求A点的竖向位移。各杆件的拉压刚度均为EA，长度a为已知。计算两杆中的轴力，如图b)，由节点A的平衡：则结构应变能为：外力功为：根据有：计算得A点的竖向位移为：解：

13求结构各杆和梁的内力求结构的应变能和外力功梁：根据对称性只考虑半梁，弯矩方程为：杆：根据节点B的平衡：外力功：解：例11-4如图所示结构，求C点的竖向位移。梁的弯曲刚度为EI，两杆的拉压刚度均为EA，长度l和a为已知。

14求C点的竖向位移例11-4解（续）：结构应变能：根据有：

15-线弹性体的应变能等于各广义力与其相应的广义位移乘积之半的总和。克拉比隆原理线弹性变形体准静态加载功能原理EmileClapeyron(1799-1864)-应变能与加载次序无关；-相互独立的力（广义力）引起的变形能方可相互叠加。

16组合变形杆件的应变能细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。内力独立作用原理-横截面内力仅在自身产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形无关。组合变形杆件，受轴力、弯矩、扭矩、剪力。其微段受力情况如图，根据克拉比隆原理，其微段上的应变能：积分得到整个杆件的应变能：

17以抗弯为主的杆件，忽略其他内力影响，其应变能应变能或外力功是外力（内力）或位移的二次函数?同种内力计算应变能不适用叠加原理。同种力引起的应变能不可简单叠加!

内力方程：CD段：AB段：整体应变能：18解：例11-5如图所示圆截面折杆ABC，已知杆横截面的极惯性矩Ip对，中性轴的惯性矩IZ，材料弹性模量E和切变模量G。求折杆的应变能。

刚架和曲杆在外力作用下通常发生组合变形：平面刚架和曲杆（图a、b）内力通常有轴力、剪力、弯矩；空间刚架和曲杆（图c、d）内力通常有轴力、剪力、弯矩、扭矩。刚架和曲杆应变能的计算常忽略轴力和剪力的影响。平面刚架和曲杆的应变能空间刚架和曲杆的应变能19刚架和曲杆的应变能计算

20第11章能量法及其应用§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法

21先加再加则相应的应变能为：功的互等定理下标-前位后力11.2互等定理图示悬臂梁，分别按2种顺序加载先加再加则

22应变能与加载顺序无关功的互等定理--对线弹性体，第一组力系各力在由第二组力系引起的相应位移上做功之和，等于第二组力系各力在