专题28 解答题重点出题方向图形的翻折与旋转变换（解析版）.pdf

专题28解答题重点出题方向图形的翻折与旋转变换（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一图形的翻折

1．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，P从A出发，沿AB方向以每秒2cm

的速度向终B运动，同时动Q从B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终C运动，设运动的时

间为t秒．

（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

思路引领：（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP=2tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），由△ABC为等腰直角三角形，

2

可得∠A＝∠B＝45°，则可判断△APE和△PBD为等腰直角三角形，得出PE＝AE=AP＝tcm，BD＝

2

PD，则CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，由矩形和菱形性质及勾股定理，即可求得答案．

解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴AB=2+2=42+42=42（cm），

由题意得，AP=2tcm，BQ＝tcm，

则BP＝（42−2t）cm，

∵PQ⊥BC，

∴∠PQB＝90°，

∴∠PQB＝∠ACB，

∴PQ∥AC，

∴=，

42−2

∴=，

424

解得：t＝2，

∴当t＝2时，PQ⊥BC．

（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，

AP=2tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），

∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，

2

∴PE＝AE=AP＝tcm，BD＝PD，

2

∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，

∵四边形PECD为矩形，

∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，

∴BD＝（4﹣t）cm，

∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，

22222

在Rt△PCE中，PC＝PE+CE＝t+（4﹣t），

22222

在Rt△PDQ中，PQ＝PD+DQ＝（4﹣t）+（4﹣2t），

∵四边形QPCP′为菱形，

∴PQ＝PC，

2222

∴t+（4﹣t）＝（4﹣t）+（4﹣2t），

4

∴t=，t＝4（舍去）．

132

4

∴当t的值为时，四边形QPCP′为菱形．