《5.2.3简单复合函数的导数》教案（2024年）.docx

第五章一元函数的导数及其应用

5.2.3简单复合函数的导数

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一、教学目标

1.了解复合函数的概念；

2.理解复合函数的求导法则，并能求简单复合函数的导数；

3.在独立思考的基础上，主动参与到数学活动中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强学好数学的信心.

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二、教学重难点

重点：复合函数的求导法则.

难点：复合函数的概念，分清函数的复合关系，选好中间变量.

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三、教学过程

（一）复习导入

师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答.

思考1：导数的四则运算法则是什么？

答：一般地，对于两个函数f(x)和g(x)

(1)[cf(x)]=cf(x)；

(2)[f(x)±g

(3)[f(x)g

(4)f(x)g

思考2：如何求函数y=ln(2x?1)

本节课就来研究这类问题.

设计意图：回顾上节课所学的主要知识，温故知新.提出问题，开门见山，点明本节课要探究复合函数的求导问题.

（二）探究新知

任务一：复合函数的概念

探究：什么是复合函数？

师生活动：教师提出问题，引导学生探究.

思考1：函数y=ln

答：基本初等函数通过加、减、乘、除运算无法得到函数y=ln

思考2：函数y=ln(2x?1)的结构特点是什么，它与函数

师生活动：学生观察思考、讨论、交流.

答：在函数y=ln(2x?1)中，其中的2x?1占据了对数函数y=lnx中x的位置，fx=lnx，

若设u=2x?1(x12)，则y=lnu.从而y=ln(2x?1)可以看成是由y=lnu

如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为

【概念的形成】教师给出复合函数的概念：

复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g

说明：通常称u=g(x)与

总结：(1)函数y=ln(2x?1)是复合函数，其中外层函数为y=lnu，内层函数为

(2)判断一个函数是否为复合函数，主要看该函数是否可以表示为两个或多个基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次加、减、乘、除以及函数的复合等运算得到的结果.

思考3：函数y=sin

答：函数y=sin2x是由y=sin

设计意图：通过分析函数y=ln(2x?1)

做一做：下列函数不可以看成是复合函数的是（）

A.y=xcosxB.y=1lnx

师生活动：学生观察思考、回答，教师点评.

解：选项B中，函数y=1lnx由函数y=1u

选项C中，函数y=2x+34由函数y=u4和

选项D中，函数y=sinπ2?x由函数y=sinu

设计意图：通过练习的解答，让学生加深对复合函数概念的理解，进一步弄清函数的复合关系，为接下来复合函数的求导做铺垫.

任务二：简单复合函数的求导法则

探究：如何求函数y=sin

师生活动：教师提出问题，并引导学生思考、回答，然后完善、讲解.

答：y=

=2

=2

=2

=2cos2x

思考：函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成的，如果以yx表示y对x的导数，yu表示y对u的导数，ux表示

师生活动：学生先求出yu和

答：yu=sinu=cosu

师生活动：教师引导学生抽象出复合函数的求导法则.

总结：复合函数的求导法则：

一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

设计意图：通过设置问题引导学生进行思考与探究，从而得出复合函数的求导法则，提高学生探究问题的能力，通过对复合函数求导法则的推导，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养.

做一做：求下列函数的导数

(1)y=1?2x2

(3)y=sin(2x+π3

师生活动：学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善.

解：(1)设y=u12

则y

=12(1?2

(2)设y=eu，

则yx

(3)设y=sinu，

则yx

(4)设y=5log2

则yx=5(

设计意图：通过练习的解答，让学生掌握复合函数的求导方法.

注意：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；

(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；

(3)求每层函数的导数时，注意分清对哪个变量求导.

师生活动：师生共同总结复合函数的求导步骤.

总结：求复合函数y=f(g(x))

(1)分解：选定中间变量，正确分解复合关系.即说明函数关系y=f(u)、u=g

(2)求导：分层求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导），要特别注意中间变量对自变量求导.即求yu和

如sin2x=2cos2

(3)回代：计