数值积分（基于MATLAB）课件 chapter3 线性代数方程组的迭代法 .ppt

**第3章3.5迭代法迭代法基础?问题?在实际应用中遇到的系数矩阵多为大型稀疏矩阵，如用求解线性方程组的直接法求解，在计算机上会耗费大量的时间和存储单元。在许多应用问题中使用迭代法。思路将改写为等价形式，建立迭代。从初值出发，得到序列。研究内容：?如何建立迭代格式？?收敛速度？?向量序列的收敛条件？?误差估计？一般迭代法迭代格式的构造把矩阵A分裂为则将上式写为迭代过程这种迭代过程称为逐次逼近法，B称为迭代矩阵。收敛性定义：若称逐次逼近法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。给定初值就得到向量序列问题：定理1任意给定初始向量x0，如果由逐次逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么，x*是方程组x=Bx+g的解。证明：是否为方程组Ax=b的解？迭代法的收敛条件定理当k??时，Bk?0??(B)1定理2设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径?(B)1。证明：因此，注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。定理3若逐次逼近法的迭代矩阵满足‖B‖1，那么逐次逼近法收敛。Remark:因为矩阵范数都可以直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3，很容易判别逐次逼近法的收敛性。第3章3.6迭代法的收敛性定理3.3（充分条件）若存在一个矩阵范数使得||B||1,则迭代收敛，且有下列误差估计：②①证明：②迭代法的误差估计误差表达式及收敛速度。停机准则。①（1）1．雅克比（Jacobi）迭代法设有n阶方程组几种常用的迭代格式若系数矩阵非奇异，且(i=1,2,…,n)，将方程组（1）改写成然后写成迭代格式（2）（2）式也可以简单地写为（3）写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵(4)Algorithm:JacobiIterativeMethodSolve.Givenaninitialapproximation.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa[][];theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;maximumnumberofiterationsMmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(k?Mmax)dosteps3-6 Step3Fori=1,…,nSet;/*computexk*/ Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*/ Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/ Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii=0?迭代过程中，A的元素不改变，故可以事先调整好A使得aii?0，否则A不可逆。必须等