数值分析 课件 ch5-线性方程组的直接解法.pptx

线性方程组的直接解法05Chapter

Ch5线性方程组的直接解法研究数值解法的必要性?求解线性方程组根据克莱姆(Gramer)法则方程组的解可表示为两个行列式之比??

Ch5线性方程组的直接解法??计算量太大寻找数值解法有必要

5.1Gauss消元法

5.1高斯消元法????

5.1高斯消元法?????消元

5.1高斯消元法??回代

5.1高斯消元法思路1.消元过程：将一般线性方程组化为上三角矩阵方程组2.回代过程：回代求解??0高斯消元法基本思想

5.1高斯消元法消元过程??????

5.1高斯消元法?????????

5.1高斯消元法???将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.

5.1高斯消元法??回代过程

5.1高斯消元法??????

5.1高斯消元法例5.1.1解方程组??解：用Gauss消去法计算：????若将1，2两行互换??????

5.1高斯消元法?顺序消去法的缺点消元过程中选择适当的主元素是十分必要的Gauss主元素消去法

5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法全主元消去法思路???消元

5.2高斯主元素消元法????????

5.2高斯主元素消元法列主元消去法思路???消元

5.2高斯主元素消元法???????

5.2高斯主元素消元法?解：???????

5.2高斯主元素消元法一些特殊情况,主元就在对角线上,不需选主元.元素满足如下条件的矩阵?即对角线上每一元素的绝对值均大于同行其他各元素绝对值之和,这样的矩阵称为按行严格对角占优矩阵,简称严格对角占优矩阵.例：?性质：严格对角占优矩阵必定非奇异.?

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形LU分解???????

5.3高斯消元法的变形LU分解????????

5.3高斯消元法的变形LU分解可见,消元过程相当于下述矩阵乘法运算：?由分块乘法可得：??直接计算可得?????

5.3高斯消元法的变形LU分解???，则?????????

5.3高斯消元法的变形?????记为单位下三角阵/*unitarylower-triangularmatrix*/记U=???

5.3高斯消元法的变形LU分解??

5.3高斯消元法的变形直接LU分解????根据矩阵乘法法则,先比较等式两边第1行和第1列元素有：?

5.3高斯消元法的变形??????

5.3高斯消元法的变形????

5.3高斯消元法的变形???

5.3高斯消元法的变形????

5.3高斯消元法的变形例5.3.1??解：???由得??得由?得由??由?得得由?得?再由??得

5.3高斯消元法的变形????????????????????

5.3高斯消元法的变形?????

5.3高斯消元法的变形追赶法????

5.3高斯消元法的变形???其中：

5.3高斯消元法的变形??上述方法为求解三对角方程组的追赶法，也称Thomas算法.??

5.3高斯消元法的变形例5.3.3??????

5.3高斯消元法的变形由得???由得??

5.3高斯消元法的变形平方根法?记为?????

5.3高斯消元法的变形????

5.4向量和矩阵的范数

5.4向量和矩阵的范数???向量范数的性质???

5.4向量和矩阵的范数常用范数?(p-范数)??(无穷范数)?(1-范数)?(2-范数)

5.4向量和矩阵的范数????

5.4向量和矩阵的范数

5.4向量和矩阵的范数矩阵范数?????????

5.4向量和矩阵的范数

5.4向量和矩阵的范数常用矩阵范数???它们满足如下相容关系：??

5.4向量和矩阵的范数

5.4向量和矩阵的范数??????

5.5误差分析

5.5误差分析例，考查以下三个方程组及其准确解其准确解其准确解其准确解可以看到，后两个方程组与第一个方程组相比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差，但准确解却相差很大。对这样的方程组，无论用多么稳定的算法求解，一旦计算中产生误差就使解面目全非，所以该方程组的性态很差。

5.5误差分析??

5.5误差分析????绝对误差放大因子??相对误差放大因子

5.5误差分析?(只要?A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大

5.5误差分析?

5.5误差分析???

5.5误差分析??行列式的值很大或很小（如某些行、列近似相关）；?元素间的数量级相差大，且无规则；?主元消去过程中出现小主元；?特征值相差大数量级。