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2023-2024学年人教版数学九年级下册章节知识讲练
专题27.5相似(章节复习+考点讲练)
1
知识点:相似图形及比例线段
1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).
细节剖析:
(1)相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;
(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形全等;
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形.
细节剖析:
(1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质.
(2)相似多边形对应边的比称为相似比.
3.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,
我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
细节剖析:
(1)若a:b=c:d,则ad=bc;(d也叫第四比例项)
(2)若a:b=b:c,则b2=ac(b称为a、c的比例中项).
2
知识点:相似三角形
1.相似三角形的判定:
判定方法(一):平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法(二):如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
判定方法(三):如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
细节剖析:
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的
夹角,否则,判断的结果可能是错误的.
判定方法(四):如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
细节剖析:
要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,
若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.
2.相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比;
相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.
细节剖析:
要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段.
(3)相似三角形周长的比等于相似比;
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质:
(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(2)相似多边形的周长比等于相似比.
(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.
3
知识点:位似
1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样
的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
2.位似图形的性质:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;
(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
细节剖析:
(1)位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能构成位似图形.
(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点
为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
4
知识点:黄金分割
1.定义:如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全
PBAP
长之比,即(此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项),则P点就是线段AB的黄金分割点(黄
APAB
金点),这种分割就叫黄金分割.
2.黄金三角形:顶角为36°的等腰三角形,它的底角为72°,恰好是顶角的2倍,人们称这种三角形为黄
金三角形.
黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割.
5
知识点:射影定理
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
∴△ABC∽△ACD∽△CBD(“角角”)
∴CD2ADBD;
2
ACADAB;
BC2BDAB(射影定理);
ACBCABCD(等积).
考点一:比例的性质
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