《平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例》题型突破.docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

《平面向量的应用》题型突破

重难点突破

一、向量在平面几何中常见的应用

1.证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用向量共线定理:

.

2.证明线段垂直问题,如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线(或线段)是否垂直等,常用向量垂直的充要条件:

.

3.求夹角问题,利用夹角公式:(其中为向量的夹角).

4.求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:或.

5.对于有些平面几何问题(如长方形、正方形、直角三角形等),常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决几何问题.

二、向量在物理学中常见的应用

1.向量与力.

向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的起点,也可以没有共同的起点,但是力的三要素是大小、方向和作用点,所以用向量知识解决力的问题,通常要把向量平移到同一起点上.

2.向量与速度、加速度及位移.

速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减法运算.用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算,有时也借助于坐标来运算.

3.向量与功、动量.

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,(为和的夹角).动量实际上是数乘向量.

三、几何问题的几种研究方法

研究几何问题可以采取不同的方法,我们学过的方法包括:

综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;

解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;

向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论.

就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量的运算”来代替“数和数的运算”,这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.

如果把代数方法简单地表述为:形到数数的运算数到形,则向量方法可简单表述为:形到向量向量的运算向量和数到形.

典型例题剖析

题型1利用向量证明垂直问题

例1如图,若点是内一点,并且满足,求证:.

解析:借助向量的减法分别表示出向量,然后代入已知条件证明.

基本思路就是将已知条件转化为与的关系,而又可表示为,所以就变成了讨论和的关系,因此可设这三个向量,再用它们来表示和,就能得到结论.

答案:设,

则.

因为,

所以,,所以,即,所以,所以.

变式训练1已知四边形ABCD是边长为6的正方形,为的中点,点在上,且,与相交于点,求证:.

答案:建立如图所示的平面直角坐标系,

则,则中点,,

题型2利用向量证明平行问题

例2用向量方法证明:梯形两对角线中点的连线与两底边平行.

解析:证明线段平行,也就是证明向量共线,要证明两向量共线,即是想办法证明,也就是想办法找到这个实数.

答案:已知:如图,是梯形的对角线,分别为的中点,求证:.

证明:如图,连接,设,

则.

∵为中点,.

又∵为的中点,

∴,即.

变式训练2如图,是平行四边形,,与与分别相交于和,求证:.

答案∵.

设,则,

同理,由,得,则

令,则,

∴.

题型3利用向量求长度

例3如图,平行四边形中,已知,对角线,对角线_______.

解析:设,则.

而

又 ,

∴,即.

答案:

方法技巧

平面几何中求线段的长度问题,在向量中就是求向量的模的问题,可适当构造向量,利用向量知识求解.

利用向量求线段长度的关系有两种方法:(1)待定系数法,结合向量共线定理和平面向量基本定理求解线段比例关系;(2)建立坐标系,设定端点坐标,利用向量坐标表示求解线段关系.

变式训练3已知Rt中,,设.

(1)若为斜边的中点,求证:;

(2)若为的中点,连接并延长交于,求的长度(用表示).

答案:(1)以为坐标原点,以边所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系,如图所示,则.

∵为的中点,

∴,

∴,

∴,即.

(2)∵为的中点,∴.

设,则.

∵三点共线,

∴,

∴,

∴,即.

题型4平面向量在物理学中的应用

例4已知两恒力作用于同一质点,使之由点移动到点.

(1)求力分别对质点所做的功;

(2)求力的合力对质点所做的功.

解析:先求出位移对应的坐标,再根据功的计算公式求解即可,相当于求向量的数量积.

答案:(1),

∴力对质点所做的功分别为和.

∴合力对质点所做的功为.

方法技巧

用向量法解决物理问题的时候,一般要作出相应的几何图形,再建立数学模型.如求力的合成与分解、力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后利用向量运算解决向量问题,最后再获得结果,解释物理现象.

变式训练4一艘船从点出发以大小为的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河