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特殊平行四边形间的关系的综合应用练素养第9章中心对称图形——平行四边形
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如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点P,O,Q,连接BP,EQ.1
(1)求证:四边形BPEQ是菱形;
∴△BOQ≌△EOP(ASA).∴QB=PE.∵BC∥AD,∴四边形BPEQ是平行四边形.又∵QB=QE,∴四边形BPEQ是菱形.
(2)若AB=6,F为AB的中点,连接OF,OF+OB=9,求PQ的长.【解】∵O,F分别为BE,AB的中点,∴AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x.在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8,即AE=8,则BE=18-x=10.
已知点M是正方形ABCD对角线AC上一点,AC与BD交于点O,AH⊥BM,垂足为H,直线AH与BD交于点N.(1)如图①,当M在线段OC上时,求证:MO=NO;2
【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,BO=AO.∴∠BOM=∠AON=90°.∴∠OAN+∠ANO=90°.∵AH⊥BM,∴∠OAN+∠BMO=90°.∴∠BMO=∠ANO.
(2)如图②,当M在线段OA上时,BM的延长线交AD于点E,若EN∥AC,求证:①四边形AENM为菱形;②CM=CB.
【证明】①∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∠ADB=∠CBD=∠BAC=45°,AO=BO.∴∠BOM=∠AON=90°.∴∠OAN+∠ANO=90°.∵AH⊥BM,∴∠OBM+∠ANO=90°.∴∠OBM=∠OAN.
②∵∠BMC是△AMB的一个外角,∴∠BMC=∠ABM+∠BAC=∠ABM+45°.∵四边形AENM是菱形,∴BE垂直平分AN.∴AB=NB.∵BH⊥AN,∴∠ABM=∠NBM.∴∠BMC=∠NBM+45°.又∵∠CBM=∠NBM+∠CBD=∠NBM+45°,∴∠CBM=∠BMC.∴CM=CB.
已知在矩形ABCD中,BC=12,AB=10,四边形EFGH的三个顶点E,F,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,DA上,AE=2.3
(1)如图①,当四边形EFGH为正方形时,求△GFC的面积;【解】如图①,过点G作GM⊥BC于M.∵在正方形EFGH中,∠HEF=90°,EH=EF,∴∠AEH+∠BEF=90°.∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90°,∴∠AEH+∠AHE=90°,∴∠AHE=∠BEF.
(2)如图②,当四边形EFGH为菱形,且BF=a时,求△GFC的面积(用含a的代数式表示);
【解】如图②,过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M,连接HF.∵AD∥BC,∴∠AHF=∠MFH.∵四边形EFGH为菱形,∴EH=EF=FG,EH∥FG,∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG.
(3)在(2)的条件下,当△GFC的面积等于6时,求AH的长.
如图,在△ABC中,点O是AC边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接BE,AE,AF.4
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.【解】OE=OF.证明如下:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.又∵CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC.∴EO=CO,FO=CO.∴OE=OF.
(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE能否为菱形?若能,请证明;若不能,请说明理由.【解】不能为菱形.理由如下:如图,连接BF,交EC于点G.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.【解】当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由:当点O运动到AC的中点时,AO=CO.又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO.∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF.∴四边形AECF是矩形.
(4)在(3)的条件下,△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由.【解】当点O运动到AC的中点,且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由:由(3)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.已知MN∥BC,当∠ACB=90°时,∠AOE=∠ACB=90°,∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形.
【点方法】解决条件探究题时,先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件,然后补充此条件,推理证明此结论成立.
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