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特殊平行四边形间的关系的综合应用练素养第9章中心对称图形——平行四边形

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如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.1

(1)求证：四边形BPEQ是菱形；

∴△BOQ≌△EOP(ASA)．∴QB＝PE.∵BC∥AD，∴四边形BPEQ是平行四边形．又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形．

(2)若AB＝6，F为AB的中点，连接OF，OF＋OB＝9，求PQ的长．【解】∵O，F分别为BE，AB的中点，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18.设AE＝x，则BE＝18－x.在Rt△ABE中，62＋x2＝(18－x)2，解得x＝8，即AE＝8，则BE＝18－x＝10.

已知点M是正方形ABCD对角线AC上一点，AC与BD交于点O，AH⊥BM，垂足为H，直线AH与BD交于点N.(1)如图①，当M在线段OC上时，求证：MO＝NO；2

【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BO＝AO.∴∠BOM＝∠AON＝90°.∴∠OAN＋∠ANO＝90°.∵AH⊥BM，∴∠OAN＋∠BMO＝90°.∴∠BMO＝∠ANO.

(2)如图②，当M在线段OA上时，BM的延长线交AD于点E，若EN∥AC，求证：①四边形AENM为菱形；②CM＝CB．

【证明】①∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CBD＝∠BAC＝45°，AO＝BO.∴∠BOM＝∠AON＝90°.∴∠OAN＋∠ANO＝90°.∵AH⊥BM，∴∠OBM＋∠ANO＝90°.∴∠OBM＝∠OAN.

②∵∠BMC是△AMB的一个外角，∴∠BMC＝∠ABM＋∠BAC＝∠ABM＋45°.∵四边形AENM是菱形，∴BE垂直平分AN.∴AB＝NB.∵BH⊥AN，∴∠ABM＝∠NBM.∴∠BMC＝∠NBM＋45°.又∵∠CBM＝∠NBM＋∠CBD＝∠NBM＋45°，∴∠CBM＝∠BMC.∴CM＝CB.

已知在矩形ABCD中，BC＝12，AB＝10，四边形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，DA上，AE＝2.3

(1)如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；【解】如图①，过点G作GM⊥BC于M.∵在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF.

(2)如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积(用含a的代数式表示)；

【解】如图②，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF.∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH.∵四边形EFGH为菱形，∴EH＝EF＝FG，EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH.∴∠AHE＝∠MFG.

(3)在(2)的条件下，当△GFC的面积等于6时，求AH的长．

如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，连接BE，AE，AF.4

(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．【解】OE＝OF.证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.

(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．【解】不能为菱形．理由如下：如图，连接BF，交EC于点G.

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．

(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．【解】当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形．

【点方法】解决条件探究题时，先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件，然后补充此条件，推理证明此结论成立．