工程数学矩阵的初等变换课件.ppt

第五节矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换

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二、初等矩阵

四、用初等变换求矩阵的秩

三、初等变换法求逆矩阵

五、小结

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一、矩阵的初等变换

1、引例

求解线性方程组

分析：用加、减消元法解上述方程组。

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1．上述方程组的求解方法可为消元法．

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换

（1）交换方程次序；

（2）以不等于０的数乘某个方程；

（3）一个方程加上另一个方程的k倍．

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3．上述三种变换都是可逆的．

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

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因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．

若记

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．

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定义1

下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

2、矩阵的初等变换

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定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．

逆变换

逆变换

逆变换

根据矩阵初等变换定义可知：对系数矩阵为非奇异方阵的线性方程组进行一系列初等变换后可得出该方程有惟一一组解的事实，可描述为下列定理。

定理1：任何非奇异方阵都可以用有限次初等行变换将其化为单位矩阵。

（见课本25页例题1）

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三种初等变换对应着三种初等方阵.

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.

二、初等矩阵的概念

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初等矩阵与初等变换之间的关系

设

第行

第行

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注意:以右乘矩阵,其结果相当与把

的第列(不是列)乘加到第列(不是列)上.

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定理3非奇异方阵A的逆矩阵可以表示为有限个初等阵的积。

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三、初等变换法求逆矩阵

方法是：

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解

例2

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即

初等行变换

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例3

解

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特点：

（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；

（2）、每个台阶只有一行，

台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．

四、用初等变换求矩阵的秩

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一、矩阵秩的概念

矩阵的秩

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例4

解

定理4行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。

如果我们能把一般矩阵化为行阶梯形矩阵，那么该矩阵的秩就一目了然了！！

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例5

解

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由阶梯形矩阵有三个非零行可知

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五、小结

1.初等行(列)变换

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

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4.利用初等变换求逆阵的步骤是:

5.用初等变换求秩（化为行阶梯形矩阵）。