专题19 圆内定理应用（教师版）.pdfVIP

圆综合

1、垂径定理；

2、圆周角定理；

3、圆内接四边形；

4、外接圆与外心；

5、切线的证明与性质；

6、内切圆与内心；

7、圆锥的计算

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示：

∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，.

若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下

三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧.

圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距.

2.圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交；

（2）圆周角与圆心角的异同

①圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处；

②在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个；

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③圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交.

（3）圆周角定理及圆周角定理的推论

①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

②同弧或等弧所对的圆周角相等；

③在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补；

④直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径；

⑤相等的圆周角所对的弧相等.

3.圆内接四边形

（1）圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆

叫做这个四边形的外接圆；

（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

4.外接圆与外心

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：

是△ABC的外接圆，△ABC为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心.

（1）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形

的外部，如图所示：

（2）一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；

（3）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等.

5.切线的证明与性质

（1）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

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如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线.

判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：

①定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；

②数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；

③判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l.

6.内切圆与内心

（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

（2）性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形

的内心都在三角形的内部.

（3）三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任

意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.

补充：三角形外心与内心对比：

图形名称性质位置角度关系

外心（三角形外接

圆的圆心，三角形到三角形三个顶外心不一定在三

∠BOC＝2∠A