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直角三角形存在性问题
考向1二次函数中的直角三角形存在性问题
【母题来源】2021年中考四川省巴中卷
2
【母题题文】已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
PMPM
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
AMAM
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，
请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【答案】（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax+bx+c，
1
4a−2b+c=0a=
4
得36a+6b+c=0，解得，
b=−1
c=−3
c=−3
12
=
∴yx﹣x﹣3；
4
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
MPPF
∴PF∥AE，∴=，
AMAE
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
1
6+=0=1
=
∴，∴2，∴yx﹣3，
=−32
=−3
11
2
设P（t，t﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
42
112123
=−=−+
∴PFt﹣3t+t+3tt，
2442
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
123
−+2123129
4
===−+=−+
∴tt（t﹣3），
41681616
第1页共9页
915
∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，−）；
164
15
（3）∵P（3，−），D点在l上，
4
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，
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