备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点06 二次函数与幂函数.docx

专题06二次函数与幂函数

（1）了解幂函数的概念.

（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况.

一、二次函数

1．二次函数的概念

形如的函数叫做二次函数.

2．表示形式

(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).

(2)顶点式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

3．二次函数的图象与性质

函数解析式

图象(抛物线)

定义域

R

值域

对称性

函数图象关于直线对称

顶点坐标

奇偶性

当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在上是减函数；

在上是增函数.

在上是增函数；

在上是减函数.

最值

当时，

当时，

4．常用结论

(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.

(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1?x2|=.

(3)当且()时，恒有f(x)0()；当且()时，恒有f(x)0().

二、幂函数

1．幂函数的概念

一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.

2．几个常见幂函数的图象与性质

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减；在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

过定点

过定点

过定点

3．常用结论

(1)幂函数在上都有定义.

(2)幂函数的图象均过定点.

(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.

(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.

(5)幂函数在第四象限无图象.

考向一求二次函数或幂函数的解析式

1．求二次函数解析式的方法

求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：

2．求幂函数解析式的方法

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；

(2)底数为自变量；

(3)系数为1.

典例1若函数是幂函数，且满足，则

A． B．

C． D．?3

【答案】A

【解析】由题意可设为常数），

因为满足，所以，所以，

所以，所以.

故选A．

1．已知幂函数的图象经过点8,4，则不等式f6x+3≤9

考向二幂函数的图象及性质的应用

1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当α0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

②幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：

α

α1

0α1

α0

图象

特殊点

过(0，0)，(1，1)

过(0，0)，(1，1)

过(1，1)

凹凸性

下凸

上凸

下凸

单调性

递增

递增

递减

举例

y=x2

、

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

典例2如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．

故选B．

2．已知函数f(x)=(m2

A．?1 B．2

C．3 D．2或?1

典例3设，则的大小关系是

A．acb B．abc

C．cab D．bca

【答案】A

【解析】因为在上是增函数，所以

又因为在上是减函数，所以.

综上，acb.

故选A.

【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.

3．已知，，，则下列结论成立的是

A． B．

C． D．

考向三二次函数的图象及性质的应用

高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：

1．图象识别问题

辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．

2．二次函数最值问题的类型及处理思路

(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三