山东省青岛市莱西市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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山东省青岛市莱西市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，则复数虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意，

所以的虚部为.

故选：B.

2.对于直线，下列选项正确的为（）

A.直线倾斜角为

B.直线在轴上的截距为

C.直线的一个方向向量为

D.直线经过第二象限

【答案】C

【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；

在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；

在中，令，解得，即直线过两点，

，所以直线的一个方向向量为，故C正确；

画出直线的图象如图所示，

所以直线不经过第二象限，故D错误.

故选：C.

3.在等比数列中，，则（）

A.4 B. C.8 D.5

【答案】A

【解析】由题意，所以，即等比数列公比为，

所以，解得，所以.

故选：A.

4.“”是“直线与平行”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，直线与平行；

当直线与平行时，

有且，解得，

故“”是“直线与平行”的充要条件，

故选：C

5.圆与圆相交于A、B两点，则（）

A.2 B. C. D.6

【答案】D

【解析】两圆方程相减得直线的方程为，

圆化为标准方程，

所以圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离为，

弦长，

所以.

故选：D

6.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（）

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】D

【解析】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，

若，则，

若，，则，有，

.

故选：D

7.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（）

A.2024 B.2023 C.2022 D.2021

【答案】B

【解析】，又，

所以是首项为1，公比为的等比数列，

所以，

故，令

由且，则，

由，则，

则，所以，

故，则正整数的值为2023.

故选：B

8.直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】设，则，

，，

，①，

三点共线，，②，

在椭圆上，，两式相减可得，

③

将①②代入③可得，

，，

所以椭圆的离心率.

故选：A

二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（）

A.在复平面内对应的点在第三象限

B.

C.的共轭复数为1

D.复数的实部为

【答案】BD

【解析】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，的共轭复数为，故C错误；

对于D，的实部为，故D正确.

故选：BD.

10.已知点是直线的上一动点，，，成公差非0的等差数列，，则下列说法正确的有（）

A.若，则的最大值为

B.直线恒过定点

C.存在3个点到直线的距离为.

D.已知，，若存在点，使得，则正数的范围为.

【答案】ACD

【解析】因为，，成公差非0的等差数列，设公差为，

则，，所以直线，

由，化简得，

由，解得，则直线过定点，故B不正确；

设，则，又，知，

故点在直线上，则点为两直线的交点，

而与是互相垂直的直线，

所以点在以为直径的圆上，圆方程为，

其圆心为，半径为，因，则和除外.

若，则的最大值为，故A正确；

又点到直线的距离为，半径为，

所以存在3个点到直线的距离为，故C正确；

已知，，若存在点，使得，

即以原点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，

故，解得，故D正确.

故选：ACD.

11.南宋数学家杨辉所著的（详析九章算法.商功）中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】BC

【解析】由题意，

对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，即，故C正确；

对于D，，故D错误.

故选：BC.

12.已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列