陕西省西安市鄠邑区2024届高三上学期期末考试理科数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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陕西省西安市鄠邑区2024届高三上学期期末考试

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意得，

故选：C

2.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由得，解得，

所以，则．

故选：D

3.跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（）

A.25 B.35 C.37.5 D.39

【答案】B

【解析】将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，

则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35.

故选：B.

4.已知抛物线的焦点为，点在上，且，则（）

A.8 B.10 C.11 D.15

【答案】B

【解析】由抛物线的焦点为，点在上，且，

根据抛物线的定义可得，解得，

将代入抛物线，可得，所以．

故选：B.

5.已知是奇函数，则（）

A.－1 B.1 C.－2 D.2

【答案】B

【解析】由函数，

因为是奇函数，所以，

即，

整理得，解得，

所以．

故选：B.

6.设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为.若，则（）

A.31 B.32 C.63 D.64

【答案】A

【解析】由题意可得，整理得，解得或，而，且数列是递增的等比数列，所以不符合题意，

所以，则1，

故.

故选：A.

7.如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】连接，交于点，取的中点，连接.

因为，所以与所成的角为（或其补角）.

令，在中，由，得.

又，，

由余弦定理得，即，解得，

所以.

故选：C

8.在中，在上，且在上，且．若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，

所以，则．

因为，所以，则．

故选：C

9.已知函数若，且，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示，

要使得，

即函数与的图象有4个不同交点，则，

所以实数的取值范围是．

故选：A.

10.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意可得：

，

则，解得，

且为第一象限角，则，

故.

故选：D.

11.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】在三棱锥中，平面，

由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，

则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，

则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于，

则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，

而，因此，

所以三棱锥外接球表面积.

故选：C

12.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由，得，

设函数，则，所以单调递增，所以，

即，

因，所以，

即.

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.展开式的系数之和是______．（用数字作答）

【答案】256

【解析】令，得．

故答案为：.

14.设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________.

【答案】

【解析】由等差数列性质可得，则，

又.

故答案为：

15.某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终等5名职工进入决赛．假设这5名职工的水平相当，则两人中至少有1人进入前3名的概率是______．

【答案】

【解析】由题意可知这5名职工最终的排名情况有种，

其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种，

两人都进入前3名的情况有种，

故所求概率．

故答案为：.

16.已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是______．

【答案】

【解析】如图所示，直线与轴交于点，

设，则，

因为，

所以，

又因为，当且仅当时，等号成立，

所以，整理得，则，

解得，所以双曲线的离心率为．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.在中，内角的对边分别是，且.

（1）求的值；

（2）若的周长为18，求的面积.