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高级中学名校试卷
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陕西省西安市鄠邑区2024届高三上学期期末考试
数学试题(理)
第I卷
一、选择题
1.()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得,
故选:C.
2.已知集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得,解得,
所以,则.
故选:D
3.跑步是一项健康的运动,可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步,如图,这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是()
A.25 B.35 C.37.5 D.39
【答案】B
【解析】将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为,
则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35.
故选:B.
4.已知抛物线的焦点为,点在上,且,则()
A.8 B.10 C.11 D.15
【答案】B
【解析】由抛物线的焦点为,点在上,且,
根据抛物线的定义可得,解得,
将代入抛物线,可得,所以.故选:B.
5.已知是奇函数,则()
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】B
【解析】由函数,
因为是奇函数,所以,
即,
整理得,解得,
所以.故选:B.
6.设数列是递增的等比数列,公比为,前项和为.若,则()
A.31 B.32 C.63 D.64
【答案】A
【解析】由题意可得,整理得,解得或,
而,且数列是递增的等比数列,所以不符合题意,
所以,则1,
故.
故选:A.
7.如图,在长方体中,,异面直线与所成的的余弦值为,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接,交于点,取的中点,
连接.
因为,所以与所成的角为(或其补角).
令,在中,由,得.
又,,
由余弦定理得,即,
解得,
所以.故选:C.
8.在中,在上,且在上,且.若,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,
所以,则.
因为,所以,则.故选:C.
9.已知函数若,且,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,作出的大致图象,如图所示,
要使得,
即函数与的图象有4个不同交点,则,
所以实数的取值范围是.故选:A.
10.已知为第一象限角,若函数的最大值是,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得:
,
则,解得,
且为第一象限角,则,
故.
故选:D.
11.已知是边长为8的正三角形,是的中点,沿将折起使得二面角为,则三棱锥外接球的表面积为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在三棱锥中,
平面,由二面角为,,得是正三角形,令其外接圆圆心为,
则,令三棱锥外接球的球心为,球半径为,
则平面,即有,显然球心在线段的中垂面上,令线段的中垂面交于,
则,显然,于是,四边形是平行四边形,且是矩形,
而,因此,
所以三棱锥外接球表面积.
故选:C
12.若函数,的导函数都存在,恒成立,且,则必有()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由,得,
设函数,则,所以单调递增,所以,
即,
因,所以,
即.
故选:D.
第II卷
二、填空题
13.展开式的系数之和是______.(用数字作答)
【答案】256
【解析】令,得.
故答案为:.
14.设公差不为零的等差数列的前项和为,若,则__________.
【答案】
【解析】由等差数列性质可得,则,
又.
故答案为:
15.某企业举办职工技能大赛,经过层层选拔,最终等5名职工进入决赛.假设这5名职工的水平相当,则两人中至少有1人进入前3名的概率是______.
【答案】
【解析】由题意可知这5名职工最终的排名情况有种,
其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种,
两人都进入前3名的情况有种,
故所求概率.
故答案为:.
16.已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点,点在直线上,且的最大值是,则双曲线的离心率是______.
【答案】
【解析】如图所示,直线与轴交于点,
设,则,
因为,
所以,
又因为,当且仅当时,等号成立,
所以,整理得,则,
解得,所以双曲线的离心率为.
故答案为:.
三、解答题
(一)必考题
17.在中,内角的对边分别是,且.
(1)求的值;
(2)若的周长为18,求的面积.
解:(1)因为,,所以
因为,所以,
则.
(2)因为,所以.
因为,所以,解得.
因为的周长为18,所以,解得,
则.故的面积为.
18.中医药学是中国古代科学的瑰宝,也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机向该地
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