备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点16 三角恒等变换.docx

专题16三角恒等变换

1．和与差的三角函数公式

（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.

一、两角和与差的三角函数公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）：

（2）：

（3）：

（4）：

（5）：

（6）：

2．二倍角公式

（1）：

（2）：

（3）：

3．公式的常用变形

（1）；

（2）降幂公式：；；

（3）升幂公式：；；；

（4）辅助角公式：，其中，

二、简单的三角恒等变换

1．半角公式

（1）

（2）

（3）

【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：

2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）

（1）积化和差公式：

；

；

；

.

（2）和差化积公式：

；

；

；

.

考向一三角函数式的化简

1．化简原则

（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；

（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．

2．化简要求

（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；

（2）式子中的分母尽量不含根号.

3．化简方法

（1）切化弦；

（2）异名化同名；

（3）异角化同角；

（4）降幂或升幂．

典例1化简：sinα+β

【解析】原式=sin

【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．

（3）在化简时要注意角的取值范围.

1．化简

A． B．

C． D．

考向二三角函数的求值问题

1．给角求值

给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.

2．给值求值

已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：

（1）先化简所求式子．

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

3．给值求角

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

（1）已知正切函数值，则选正切函数．

（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.

4．常见的角的变换

（1）已知角表示未知角

例如：，，

，，，.

（2）互余与互补关系

例如：，.

（3）非特殊角转化为特殊角

例如：15°=45°?30°，75°=45°＋30°.

典例2求下列各式的值：

（1）cos+cos-2sincos;

（2）sin138°-cos12°+sin54°.

【解析】（1）cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.

（2）sin138°-cos12°+sin54°=sin42°-cos12°+sin54°=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=

sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=====.

【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.

2．

A．1 B．2

C．3 D．4

典例3已知tan(α?β)=，tanβ=，且α，β∈(0,π)，则2α?β=

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】因为tan2(α?β)=，

所以tan(2α?β)=tan[2(α?β)+β]==1.

又tanα=tan[(α?β)+β]=，

又α∈(0,π)，所以0α.

又βπ，所以?π2α?β0，所以2α?β=.

故选C．

【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.

3．已知，，，则

A． B．

C． D．

典例4在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α+π4的终边经过点

（1）求cosα

（2）求cos(

【解析】（1）由于角α+π4的终边经过点