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高级中学名校试卷
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四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试
数学试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意,,而,
所以.
故选:D
2.命题“,”的否定为()
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【解析】“,”的否定为:.,,
故选:A
3.已知向量,,若,则()
A B.1 C. D.2
【答案】B
【解析】由题意可知,因为,,
所以,
又因为,所以,
即,解得.
所以.
故选:B.
4.已知圆,点在线段()上,过点作圆的两条切线,切点分别为,,以为直径作圆,则圆的面积的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知,,,,,为锐角,
当圆的面积取最大值时最大,
而,
所以,
因为点在线段()上,
所以,
故,即圆半径的最大值为,
所以圆的面积的最大值为,
故选:D.
5.若过点可以作曲线的两条切线,则()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设切点为,
对求导可得:,
切线的斜率为,
可得切线方程为:,
把点代入可得,
化为,
令,
,
令得;令得
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
可得时函数取得极大值.
当时,,
当时,.
时,与函数的图象最多有一个交点,不符合题意,舍去.
时,由过点可以作曲线的两条切线,
与函数的图象有两个交点,
.
故选:C.
6.已知定义在正实数集上的函数设、、是互不相同的实数,满足,则的取值范围为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由则画出函数的图象,如图所示,
不妨令,则,即,得,
当时,单调递减,且与轴交于点,则,
所以的取值范围为.
故选:B.
7.设正四面体的棱长为2.则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为()
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】这样的截面有两类:
①截面的一侧有一点,另一侧有三点,如左图中的,
其中分别是棱的中点,故是边长为1的正三角形,
故的面积为,这样的截面共有四个.
②截面的两侧各有两点,如右图中的四边形,
其中分别是棱的中点,
故四边形是正方形,
则四边形的面积为1,这样的截面共有三个.
综上所述,所有截面的面积之和为.
故选:C.
8.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓,且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为,已知该粒子的初始位置在2号仓,则().
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为,
粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为,
则有消去可得,,
则,即,因,
则数列组成一个首项为,公比为的等比数列,
故,即,
故.
故选:A.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多个项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对得3分,错选得0分.
9.二项式的展开式中()
A.前三项系数之和为22 B.二项式系数最大的项是第4项
C.常数项为15 D.所有项的系数之和为0
【答案】BCD
【解析】二项式展开式的通项为:
;
对于选项A,前三项的系数之和为:,A错误;
对于选项B,二项式系数中最大的是,恰好是第4项,B正确;
对于选项C,常数项时,通项公式中满足,得,即,C正确;
对于选项D,将代入,可得所有项的系数之和,结果为,D正确;
故选:BCD.
10.已知函数的图象与函数的图象重合,则()
A.
B.的单调区间为
C.直线是的图象的对称轴
D.直线是曲线y=gx的切线
【答案】AD
【解析】,函数图象与的图象重合,
则,即,则,
则,故A正确.
,,则,,
则的一个单调递增区间为,还有其他单调递增和单调递减区间,故B错误.
当,则,根据对称轴经过图象最高点或者最低点,
则直线不是的图象的对称轴.故C错误.
前面知道,则为上的点.且,
故,故在点的切线方程为,
即直线是曲线的切线.故D正确.
故选:AD.
11.设是非零复数,是方程的两个复根,且,则以下说法错误的是()
A.存在负实数,使得 B.是负实数
C.存在实数,使得 D
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