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备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点21 数列的概念与简单表示法.docx

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专题21数列的概念与简单表示法

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.

一、数列的相关概念

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成简记为.

2.数列与函数的关系

数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量按照由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.

由于数列是特殊的函数,因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集(或其有限子集)这一条件.

3.数列的分类

分类标准

名称

含义

按项的

个数

有穷数列

项数有限的数列,如数列1,2,3,4,5,7,8,9,10

无穷数列

项数无限的数列,如数列1,2,3,4,…

按项的变化趋势

递增数列

从第2项起,每一项都大于它的前一项,如数列1,3,5,7,9,…

递减数列

从第2项起,每一项都小于它的前一项,如数列10,9,8,7,6,5,…

常数列

各项都相等的数列,如数列2,2,2,2,…

摆动数列

从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,如1,2,1,2

按项的有界性

有界数列

任一项的绝对值都小于某一正数,如-1,1,-1,1,-1,1,…

无界数列

不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它,如2,4,6,8,10,…

二、数列的表示方法

(1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况.

(2)解析法:主要有两种表示方法,

①通项公式:如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即.

②递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

(3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.

三、数列的前n项和与通项的关系

数列的前n项和通常用表示,记作,则通项.

若当时求出的也适合时的情形,则用一个式子表示,否则分段表示.

考向一已知数列的前几项求通项公式

1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

具体策略:

①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征;

③拆项后的特征;

④各项的符号特征和绝对值特征;

⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;

⑥对于符号交替出现的情况,可用或处理.

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

2.常见的数列的通项公式:

(1)数列1,2,3,4,…的通项公式为;

(2)数列2,4,6,8,…的通项公式为;

(3)数列1,4,9,16,…的通项公式为;

(4)数列1,2,4,8,…的通项公式为;

(5)数列1,,,,…的通项公式为;

(6)数列,,,,…的通项公式为.

3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.

典例1根据数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式.

(1);

(2)8,98,998,9998,…;

(3);

(4)1,6,12,20,…;

(5)

【解析】(1)符号问题可通过或表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大,故通项公式为.

(2)各项分别加上2,即得数列:10,100,1000,10000,…,

故数列的一个通项公式为an=10n?2.

(3)各项的分母依次为:21,22,23,24,…,

容易看出第2,3,4项的分子比相应分母小3,

再由各项的符号规律,把第1项变形为,既符合符号变化的规律,也满足了分子与分母之间的关系,

故数列的一个通项公式为.

(4)容易看出第2,3,4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).

而第1项却不满足,因此考虑分段表示,

即数列的一个通项公式为.

(5)数列变形为

所以.

典例2如图,图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第个图包含的单位正方形的个数是

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】设第个图包含

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