备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点32 直线、平面垂直的判定及其性质.docx

专题32直线、平面垂直的判定及其性质

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

一、直线与平面垂直

1．定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．

2．直线与平面垂直的判定定理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

简记为：线线垂直?线面垂直

图形语言

符号语言

l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α

作用

判断直线与平面垂直

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行.

简记为：线面垂直?线线平行

图形语言

符号语言

?

作用

①证明两直线平行；

②构造平行线.

4．直线与平面所成的角

（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.

5．常用结论（熟记）

（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．

（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

二、平面与平面垂直

1．定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：

2．平面与平面垂直的判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

简记为：线面垂直?面面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，?α⊥β

作用

判断两平面垂直

3．平面与平面垂直的性质定理

文字语言

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

简记为：面面垂直?线面垂直

图形语言

符号语言

作用

证明直线与平面垂直

4．二面角

（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

（3）二面角的范围：.

5．常用结论（熟记）

（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

三、垂直问题的转化关系

考向一线面垂直的判定与性质

线面垂直问题的常见类型及解题策略：

(1)与命题真假判断有关的问题．

解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．

(2)证明直线和平面垂直的常用方法：

①线面垂直的定义；

②判定定理；

③垂直于平面的传递性()；

④面面平行的性质()；

⑤面面垂直的性质．

(3)线面垂直的证明．

证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

(4)线面垂直的探索性问题．

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

典例1如图所示，ΔADB和ΔADC都是以D为直角顶点的等腰直角