备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点50 随机事件的概率.docx

专题50随机事件的概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.

一、随机事件及其概率

1．事件的分类

2．频率与概率

（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.

（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.

注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.

二、事件间的关系及运算

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

B?A(或A?B)

相等关系

若B?A且A?B，则事件A与事件B相等

A＝B

并事件(和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

A∪B(或A＋B)

交事件(积事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B(或A·B)

互斥事件

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥

对立事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

且

注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.

三、概率的基本性质

1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.

3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.

考向一由频率估计随机事件的概率

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.

典例1某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:

抽取球数n

50

100

200

500

1000

2000

优等品数m

45

92

194

470

954

1902

优等品频率

(1)计算表中乒乓球优等品的频率;

(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)

【解析】(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，

所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

典例2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

所用时间(分钟)

10~20

20~30

30~40

40~50

50~60

选择L1的人数

6

12

18

12

12

选择L2的人数

0

4

16

16

4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

【解析】(1)由题意知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

∴用频率估计相应的概率约为0.44.

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,由调查结果得:

所用时间(分钟)

10~20

20~30

30~40

40~50

50~60

L1的频率

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

L2的频率

0

0.1

0.4

0.4

0.1

(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

∵P(A1)P(A2),

∴甲应选择L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.