备战2025年高考 理科数学考点一遍过 考点51 古典概型.docx

专题51古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

一、基本事件

在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.

基本事件有如下特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的.

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

二、古典概型的概念及特点

把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

三、古典概型的概率计算公式

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四、必记结论

（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．

（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．

考向一古典概型的概率求解

1.求古典概型的基本步骤：

(1)算出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.

(3)代入公式，求出P(A)．

2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.

基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择.

3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.

4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.

典例1一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为从集合中取出三个不相同的数共有个,

由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243，共8个,

所以这个三位数是“凸数”的概率为.选B．

典例2某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人.

(1)求样本容量的值和从高二抽取的人数；

(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.

【解析】(1)由题意可得,解得,

从高二抽取人.

(2)由(1)知,从高二抽取7人,

其中2位女生记为,5位男生记为,

则从这7位同学中任选2人,不同的结果有,,,,,，共21种.

从这7位同学中任选2人,有女生的有:,共11种,

故至少有1名女同学被选中的概率为.

1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为

A． B．

C． D．

2．智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是：，.

（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟?(精确到整数)

（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长，求这名组长分别选自和的概率是多少？

考向二用随机模拟估计概率

用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.

典例3袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为随机模拟产生18组随机数，

由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：

，，，，共4个基本事件，

根据古典概型的概率公式可得，

恰好第三次就停止的概率为，故选C．

3．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到