专题17 图形的性质压轴题（综合训练）（解析版）.pdfVIP

专题17图形的性质压轴题（综合）

1．综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶

点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么

A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接

AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）

∵∠B＝∠D

∴∠AEC+∠B＝180°

∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）

∴点A，B，C，D四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一

个圆．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为45°．

拓展探究：

（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重

合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接

AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB＝22，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明

理由．

试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；

（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；

（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，

进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；

②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

答案详解：（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三

个点有且只有一个圆，

所以答案是：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；

（2）解：∵∠1＝∠2，

∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，

∴∠3＝∠4，

∵∠3＝45°，

∴∠4＝45°，

所以答案是：45°；

（3）①证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵点E与点C关于AD的对称，

∴AE＝AC，DE＝DC，

∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，

∴∠AED＝∠ACB，

∴∠AED＝∠ABC，

∴A，D，B，E四点共圆；

②解：AD•AF的值不会发生变化，

理由如下：如图4，连接CF，

∵点E与点C关于AD的对称，

∴FE＝FC，

∴∠FEC＝∠FCE，

∴∠FED＝∠FCD，

∵A，D，B，E四点共圆，

∴∠FED＝∠BAF，

∴∠BAF＝∠FCD，

∴A，B，F，C四点共圆，

∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，

∵∠BAD＝∠FAB，

∴△ABD∽△AFB，

∴=，

∴AD•AF＝AB2＝8．

2．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的

延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠

BCD，求∠ADB的度数．

试题分析：（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DC，根据角平分线的定义得到∠DCB＝∠

ACB，证明四边形ABCD为平行四边形