南京航空航天大学理学院《814高等代数》历年考研真题汇编.pdf

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2012年南京航空航天大学814高等代数考研真题

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2012年南京航空航天大学814高等代数考研真

题

南京航空航天大学

2012年硕士研究生入学考试初试试题(d卷)

科目代码：14科目宿称：满分：150分

注意：①认真阅谟答题纸上的注意事项；②所有答案必弑写在国巫上，与在本试题纸或

革稿纸上均无效；③本试题飙领随答题纸一起装入试题中交回1

一、(20分)设,=(1,2⑵气^=(3,0,0/,%在基岗，如是下的坐标分

别是纺叫，％(这里丁表示转置，以下各题相同).

1*求向量四，禹，防；

2.在舟中求一组标准正交基，使得从基牝％、到基建s的过渡矩

阵为上三角矩阵.

二、(15分)设有两组向量

2、

⑴：西=2a2=3,%=1(11):、=bL=b2

3£

1-求参数八使得色,知,％线性相关;

2.当％，气,昭线性相关时，求参数b和c,使得向量组(I)和(II)等价.

三、(25分)设J?的线性变换『使得

1.求T在基旬=(1,0,0)七勺=(0,1,0)rt引=(0,0,1)『下的矩在

2.如果T有三个线性无关的特征向量，求参数环和可逆矩阵P,使得PlAP是对角

矩阵；

3,如果a={-\,l,l)r是T的一个特征向量，证明力不能与对角矩阵相似，并求彳的

Jordan标准形.

四、(2。分)设实二次型

/(X)=({1+a}^|+x,十…十五)，+(2x|+(2+。[工？中，■■*卜2工“)2

H(■(叫+x,+(百+a)工J,尸

的正惯性指数小于…求参数a以及使得f(X)=0的全部h谁向量X.

五、(15分)设A,B,C是三个占阶矩阵，旦期=0,A*BC=Ea，证明：

1.秩GO+秩(5)=m;

(E0、

2-矩阵4与形如oj的矩阵相似，其中旦表示左阶单位矩阵，尹是矩阵力的秩•

六、⑴分)设/⑴=注+工+1,h是自然数，证明：

1■，Q)W+o(x+1)的充分必要条件是】=],这里十表示整除；

2,对任意多项式g(x),(/(x),g(x))=I的充分必要条件是(广(游法,(圳=1.

七、(20分)设刃是”阶正定矩阵，占是以阶实对称矩阵，证明：

1.存在阶可逆矩阵尸，使得PTAP=En而.RP为对角矩阵；

2.存在正数么，当ttc时，tA+B也是正定矩阵；

,如果B还是半正定矩阵，则|应+应习』.

八、00分)设瓦是两个h阶实对称矩阵，且A=B\证明；

1.方程组4¥=0与敬=0同解；

2,对任意实数。#。，矩阵P^c2Eh+cB+B2是正定矩阵；

3.4的特征向量都是占的特征向量.

2013年南京航空航天大学814高等代数考研真

题

南京航空航天大学

2013年硕士研究生入学考试初试试题（