《8.4.1平面》教案（2024年完整版）.docx

第八章立体几何初步

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

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一、教学目标

1.理解平面的概念、三个基本事实及推论，会用图形、文字和符号三种语言性质表述三个基本事实和推论.

2.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养.

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二、教学重难点

重点：平面基本性质（三个基本事实）及其推论．

难点：对三个基本事实刻画平面基本性质的理解，三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）及其相互转化．

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三、教学过程

（一）创设情境

观察下面图形，有你熟悉的空间图形吗？构成这些几何体的元素有哪些？

点、直线、平面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界，初中我们已对点和直线进行了研究，今天我们继续探讨平面及其基本性质.

师生活动：教师展示图片可以让学生观察说出熟悉的空间图形，进一步可以通过探讨熟悉的长方体，让学生分析长方体是有哪些几何元素构成的，进而引出本节课的学习.

设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中.能促进学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.

（二）探究新知

任务1：探究平面的含义及其表示方法

思考：(1)你能结合情境中的实例说出什么是平面吗?

(2)为了画出直线，用直线的一部分(线段)表示直线，你能类比此方法将平面画出来吗？

(3)同样的类比直线，你能用符号语言表示出平面吗？

合作探究：先独立思考，再小组内交流，并汇报得出的结论.

师生活动：学生从情境视频中抽象出平面的概念，并由教师引导得到平面的是平面的，可以无限延伸的，类比画直线和表示直线的方法，鼓励学生画出平面并表示出平面，最后由教师归纳总结.

答：(1)平面是从湖面、操场、草原等物体中抽象出来的,

但几何中所说的平面具有以下两个特征：

一是：可以无限延展；二是：平的(没有厚薄).

(2)我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

①当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；

②当平面竖直放置时，常把平性四边形的一边画成竖向；

(3)①用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ；

②用代表平行四边形的四个顶点，如平面ABCD；

③用平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母，如平面AC或者平面BD

如下图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

设计意图：通过类比学习，建立知识之间的联系，更好地理解平面的本质特征，并提高学生概括、类比推理的能力.类比直线的图形和符号表示给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性，平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养.

任务2：探究平面的基本性质.

思考：我们知道，过两个点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢？

合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.

(1)自行车两个车轮着地时，不能“站稳”，如果加上1个脚架，就可以“站稳”了，你知道为什么吗？

(2)支撑照相机的架子，为何选择三脚架呢？

答：(1)如果把地面看成一个平面，两个车轮着地地方看成两点，脚架着地地方看成1个点，由于两个点只能确定一条直线，这条直线所在的平面不确定，故两个车轮着地不能站稳；当增加1个脚架即1个不在此直线上的点时，3个不共线的点都在地面，从而自行车能站稳.

(2)由于三个支点在底面上且不共线保证了三脚架的稳定性.

基于此，我们可以归纳得出：

基本事实1过不在同一直线上的三个点，有且只有有一个平面.

注意：“有且只有一个”必须完整表述，缺一不可.

“有”说明图形存在，强调了存在性；“只有一个”是说图形唯一，强调了唯一性

说一说：你能举出生活中的实例来说明基本事实1吗？

预设答案：如：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了．

思考：如何将这一事实用图形表示？又如何用符号表示点和直线、平面的位置关系呢？

提示：直线上有无数个点，平面内也有无数个点.因此，直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示．

答：如图，不共线的三点A，B，C确定一个平面，记为平面ABC．

点A在直线l上，记作A∈l；点B在直线l外，记作B?l；点A在平面α内，记作A∈α；点P在平面α外，记作P?α．

这样，基本事实1也可以用符号表示为：

设计意图：通过对上述问题的探索与研究,引导学生从生活实例中发现三个不共线的点可以确定一个平面,自己