数值积分（基于MATLAB）课件 chapter6 非线性方程数值解.ppt

二分法迭代法迭代法的加速（Aitken加速法、Steffensen迭代法）牛顿迭代法第6章非线性方程的数值解

§1.非线性方程实根的对分法(二分法)2）对[a1,b1]重复1)的计算，并产生[a2,b2]

二分法的收敛性ax*x0ba1b1

§2.迭代法

迭代过程的几何表示Ox*x2x1x0xy

迭代法需解决的三个问题迭代函数的构造由迭代函数产生的解序列的收敛性序列的收敛速度和误差估计

如何选取合适的迭代函数？下面介绍三个迭代法的收敛定理。

实际用迭代法计算时，先用对分区间法求较好的初值，然后再进行迭代。

迭代法收敛速度定义

迭代法加速（Aitken法）

Steffensen迭代法Aitken加速法的加速技巧与原迭代法的结合，即

Newton迭代法Newton迭代法的收敛性简单Newton迭代法Newton下山法Newton迭代法的重根处理弦截法§3.Newton迭代法

非线性问题的最简单解法是线性近似。将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。一、牛顿迭代法

Newton法的几何解释

Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。

二、Newton迭代法的收敛性

三、简单迭代法

四、弦截法

弦截法

弦截法的几何表示x0Xx*x1x2x3Yf(x)0P0P2P1

弦截法收敛性定理

用弦截法给出埃特金算法的几何解释

非线性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函数的零点,本章讨论了求解非线性方程近似根常用的一些数值方法。先要确定有根区间,且对于收敛的迭代格式,这个区间要足够小。针对各种求根的数值方法的特点,要考虑其收敛性、收敛速度和计算量。二分法是逐步将含根区间分半,主要用来求实根;迭代法是一种逐次逼近的方法,起着把根的精确值一步一步算出来的作用;牛顿法具有较快的收敛速度,但对初值选取要求较高。弦截法避开了导数的计算,具有超线性的收敛速度,每计算一步,要用到前面两步的信息。本章小结