8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教案(2024年).doc

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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一、学情分析

学生在前几节课学习了棱柱、棱锥、棱台的概念和结构特征,也学习了用斜二测画法画出立体图形的直观图,具有了基本的空间想象能力.本节课通过对棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的学习,使学生对简单组合体表面组成和内部结构有更深入地理解,同时培养学生类比推理、空间想象能力、数学运算等数学能力.

二、教学目标

(一)、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握它们的表面积和体积的公式及其求法;

(二)、掌握与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法,并能够解决一些有关的实际问题;

(三)、通过学习逐步培养学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

三、教学重难点

重点:棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式的理解及其应用;

难点:实际生活中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法.

四、教学过程

(一)复习回顾

问题1:前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念,大家还记得

它们的结构特征吗?

师生活动:学生回忆思考回答棱柱、棱锥、棱台的结构特征,对于回答不全面的可以有其他同学补充.

设计意图:通过学生共同回忆所提问题,加深对棱柱、棱锥、棱台的机构特征的理解,便于后面教学中公式推导的理解.

(二)、棱柱、棱锥、棱台的表面积

从而引入本节课的内容,如何求这些多面体的表面积和体积呢?

问题2.还记得我们如何求正方体的表面积吗?

师生活动:教师引导,学生思考、讨论,得出正方体的表面积可以通过求其展开图的面积的方法求解.

(三)类比形成概念

多面体表面积:多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.

问题3:棱柱、棱锥、棱台的展开图分别是怎样的?

师生活动:首先让学生思考,讨论,回答展开图形式.然后通过动画展示三棱柱、三棱锥、四棱台的展开图.

设计意图:让学生更好理解它们的表面积有哪些平面图形组成,提高学生空间想象能力.

例1如图已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体P-ABC,求它的表面积.

追问:正四面体的展开图是怎样的?如何求展开图每部分的面积?

解:因为△PBC是正三角形,其边长为a,所以因此,四面体P-ABC的表面积

(四)新知引入

问题4:你还记得正方体、长方体,以及圆柱的体积计算公式吗?

师生活动:通过回忆得到正方体、长方体、圆柱的

体积公式是V=Sh.

追问:该公式能否推广到一般的柱体?

(五)实验探究——祖暅原理

问题5:取一摞书放在桌面上,并改变它们的位置,高度、书中每页纸面积和顺序不变,观察改变前后的体积是否发生变化?

师生活动:学生思考,讨论,根据图形能直观理解体积没有发生变化,教师引导学生进行知识的迁移,有特殊到一般的转化.

设计意图:通过此实验可以形象的理解祖暅原理.

祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”

夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.

祖暅简介:我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上,于5世纪末提出了这个体积计算原理.祖暅提出这个原理,要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪,才有意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1598年--1647年)提出上述结论.

(六)棱柱体积公式

一般地,如果棱柱的底面面积为S,高为h,那么这个棱柱的

体积V=Sh

棱柱的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

特别的,直棱柱的侧棱垂直于底面,故侧棱长即为直棱柱的高.

(七)棱柱与棱锥体积关系

问题6:一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?

师生互动:学生小组讨论如何分割三棱柱,教师引导它们每部分什么关系?它们相等吗?如何证明?最后学生讨论得到结论.

设计意图:通过三棱柱和三棱锥的体积关系,从而更好的接受棱柱和棱锥的体积关系.

(八)棱锥的体积公式

一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么这个棱锥的体积公式V=Sh

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离.

(九)棱台的体积公式

棱台的体积公式

其中S′,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.

棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离.

(十)棱柱、棱锥、棱台体积关系

问题7:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系?你用棱柱、

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