专题27.4 相似（章节复习+能力强化卷）教师版.pdf

2023-2024学年人教版数学九年级下册章节知识讲练

专题27.4相似（章节复习+能力强化卷）

知识1：相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).

细节剖析：

(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

细节剖析：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，

我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

细节剖析：

（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．

知识2：相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

细节剖析：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的

夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

细节剖析：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，

若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

细节剖析：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3)相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

知识3：位似

1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

细节剖析：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

知识4：黄金分割

1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全

PBAP

长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄

APAB

金点），这种分割就叫黄金分割．

2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄

金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

知识5：射影定理

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）

∴CD2ADBD；

2

ACADAB；

BC2BDAB（射影定理）；

ACBCABCD（等积）．

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（本题2分）（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在V