数值分析 课件ch2-插值法.pptx

插值法02Chapter

2.1引言

2.1引言在实际问题中，我们会遇到两种情况变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值例如:从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值例如:求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。

2.1引言??插值条件插值函数插值节点求插值函数的方法称为插值法?…………[a,b]称为插值区间如何构造P(x)???

2.1引言根据实际需要，可以用各种不同的函数来近似原来的函数。最常用的插值函数是?代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运算，且积分和微分都很方便；所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样的插值方法叫做多项式插值法，简称插值法。

2.1引言?????是否任意给定n+1个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式???

2.2拉格朗日插值

?2.2拉格朗日插值线性插值??n=1??直线方程常用表达式两点式?点斜式??

2.2拉格朗日插值二次插值n=2????方程组的解是否存在?若存在解,是否唯一?!

2.2拉格朗日插值???然而,方程组的求解也并不是一件容易的事对于线性插值的两种形式解进行适当的分析,从中寻求规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日插值法(公式)和牛顿插值(公式).

2.2拉格朗日插值两点式?线性插值的两点式可看作是两个特殊的线性函数的一种线性组合.???????1001?于是，线性插值即是用基函数的线性组合来构造的.?

2.2拉格朗日插值由此启发，我们希望二次插值也能由一些二次插值基函数来线性组合:??100010001?

2.2拉格朗日插值同理可得?????????

2.2拉格朗日插值n次插值????li(x)????

2.2拉格朗日插值n次插值??拉格朗日多项式与有关，而与无关节点f

2.2拉格朗日插值?证明：(存在性可利用Vandermonde行列式论证)??????矛盾

2.2拉格朗日插值插值余项??????

?2.2拉格朗日插值?????????

2.2拉格朗日插值?解：三个插值节点及对应的函数值为?由抛物插值公式得??

2.2拉格朗日插值例2：已知??sin50?=0.7660444…解：???????外推(extrapolation)的实际误差??0.01001内插(interpolation)的实际误差?0.00596?

2.2拉格朗日插值????sin50?=0.7660444…2次插值的实际误差?0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好

2.2拉格朗日插值Lagrange插值公式缺点：一是计算量大，这是显然的；另外，还有一个更严重的缺点，当插值节点增加时，全部插值基函数均要随之变化，整个计算工作必须从头开始：不仅原来的每一项都要改变，还要增加一项计算。为克服上述两个缺点,努力：把插值多项式变形为便于计算的形式。希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.下面我们将看到,这是可能的。我们可以有具有“承袭性”的所谓牛顿公式。优点：利用插值基函数很容易得到，含义直观,结构紧凑,在理论分析中非常方便;计算机上实现也很容易.

2.3差商与牛顿插值

2.3差商与牛顿插值差商定义?????

2.3差商与牛顿插值差商性质?12?这个性质也表明均差与节点的排列次序无关,称为均差的对称性,即?由性质1可得:?

2.3差商与牛顿插值?3????所以

2.3差商与牛顿插值???变形☆希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.??????常数(差商)由此启发，我们希望二次插值也能类似地有有规律的组合表达式:?

2.3差商与牛顿插值??????事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待定系数法求得的;它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:??

2.3差商与牛顿插值??来线性组合为：?那么其组合系数是什么样的呢？怎么求呢？?

2.3差商与牛顿插值12…………n?1n?1?????Rn(x)Nn(x)?

2.3差商与牛顿插值???????牛顿插值余项为?牛顿插值多项式它比拉格朗日插值多项式计算量省,且便于程序设计.

2.3差商与牛顿插值差商表一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差?????

2.3差商与牛顿插值??插值基函数xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多项式为:??

2.3差商与牛顿插值xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314