数值分析 课件ch7-数值积分与微分.pptx

数值积分与微分07Chapter

7.1引言

7.1引言?——Riemann积分积分的概念???即

7.1引言黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许多奠基性、创造性的工作，直接影响了19世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。■黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化。黎曼几何是现代理论物理必备的数学基础。■完善微积分理论的出杰人物之一■解析数论、与复变函数的里程碑■组合拓扑的开拓者■代数几何的奠基人■在数学物理、微分方程等领域贡献卓著

7.1引言根据定义计算??积分的计算Riemann积分从定义上基本不可算?Newton-Leibniz公式求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题

7.1引言N-L公式的局限性积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：1.被积函数有原函数，但形式复杂难解??2.找不到原函数??

7.1引言希望研究一种新的积分方法来解决N-L公式所不能或很难解决的积分问题数值积分方法?

7.1引言?左矩形公式?右矩形公式中矩形公式梯形公式???Simpson公式?

7.1引言???求积系数求积节点值机械求积公式求积节点??为截断误差,又称求积余项.

7.1引言数值积分方法是近似方法近似程度(精度)代数精度考虑如何衡量代数精度??如果?但??

7.1引言?考查??如果?则??一般，如果?则

7.1引言?即???因此，判断代数精度只需用最简多项式?

7.1引言代数精度???

7.1引言????????所以梯形公式具有1次代数精度??

7.1引言????????所以Simpson公式具有3次代数精度????????

7.1引言????????具有三阶的代数精度

7.1引言????为插值型求积公式插值型求积公式???

4.1引言?证:充分性?????必要性所以该求积公式为插值型。??

7.2Newton-Cotes公式

7.2Newton-cotes公式Cotes系数????????

7.2Newton-cotes公式???Cotes系数?Newton-Cotes公式

7.2Newton-cotes公式Cotes系数???Simpson求积公式?梯形公式?Cotes求积公式

4.2Newton-cotes公式?

7.2Newton-cotes公式?数值积分的误差分析?

7.2Newton-cotes公式以梯形公式误差为例???????

7.2Newton-cotes公式?梯形公式Simpson公式??Cotes公式?

7.2Newton-cotes公式?如何改进复化求积法复化求积法第一步：等分区间：????????第三步：求和?

7.2Newton-cotes公式??????

7.2Newton-cotes公式复化求积公式的误差复化梯形公式为?则?????????

7.2Newton-cotes公式同理，复化Simpson和复化Cotes公式的误差分别为???复化梯形、复化Simpson和复化Cotes公式分别具有二阶、四阶和六阶收敛精度。

7.2Newton-cotes公式????????

7.3Romberg算法

7.3Romberg算法考察复化梯形公式???????二分前的步长??

7.3Romberg算法?可以得到两个结果结果一:?区间二分后的误差是二分前后差值的三分之一结果二：??加速公式

7.3Romberg算法?令??即?则?

7.3Romberg算法考察复化Simpson公式???可以验证得?

7.3Romberg算法考察复化Cotes公式???记?称Romberg公式

7.3Romberg算法Romberg算法计算步骤??1.梯形公式2.变步长梯形公式3.加速公式????（1）二分前的步长（2）二分前的区间中值????二分点

7.3Romberg算法解：??因此?例7.3.1：计算??对照值???

7.3Romberg算法????

7.3Romberg算法例7.3.2：用Romberg算法计算?0***1**2*3???????????

7.4Gauss公式

7.4Gauss公式?定义：如果适当选取求积公式?Gauss点

?7.4Gauss公式Gauss点?定义???Gauss定理：对于插值型求积公式?即???

7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式回顾：Legendre多项式??n=3时?n=2时n=1时