凯哥学员讲义-函数极限计算-(1).pdf

凯哥考研数学专用讲义(习题部分)

函数极限及其计算（习题部分）

函数极限的计算方法众多，但核心是三大基本方法——等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒展开。其它重

要的方法还有拉格朗日中值定理法、凑导数定义法等等。一道函数极限的题目，往往需要多种方法综合使用，十

分灵活，大家在解题时一定要注意一题多解，对比不同方法的优劣。

在利用三大方法解题时，我们一定要记住游戏规则——

等价无穷小：在求极限时，如果想对某部分使用等价无穷小，需要保证该部分与其余整体构成乘除关系，

不能在加减中等价，也不能在局部乘除中等价；

泰勒公式：使用泰勒公式的关键，是确定好需要展开的阶数——阶数展少了肯定出错，阶数展多了又没必

要，徒增计算量，至于具体展开到多少阶，需要具体问题具体分析；

洛必达法则：洛必达法则是一个“后验法则”——洛必达能不能用，需要洛完以后才知道。如果极限

为，则极限也为；如果极限为，则极限也为；如果极限为震荡不存在，则洛

必达法则失效，的极限有可能存在，也可能不存在，其值需要通过其它方法求解。特别值得注意的是，如

果题干只告诉了函数可导，未告诉导函数连续，那么求带有函数的极限时，千万不能使用洛必

达法则，因为和是否相等并不清楚，所以洛必达后出现的无法处理，这是易错点！

在进行函数极限计算时，有两个高频易错点——

局部代入：有的同学在进行函数极限计算时，总喜欢把某一个局部的极限先算出来，如计算

时，很多人认为反正的极限为1，所以直接将替换成1，故该题变成计算

——这显然是荒谬的！因为从泰勒公式可以看出来，当展开到二阶，与相乘后，

仍然会得到三阶项，所以直接将换成1是不精确的。所以我们不能先局部计算出某一部分的极限后，再计

算余下部分的极限。

随意拆开：有的同学在进行函数极限计算时，喜欢一来就把一个极限拆成两个极限，这是不好的习惯。因

为极限能不能拆开，要先看拆开以后的极限是否各自都存在，这是极限的四则运算法则的要求。

一个有趣的现象是——在学习函数极限计算的时候，总是有人夸大泰勒公式的作用，贬低另外两大方法的

价值，但事实上，纵观考研数学历年真题可以发现，几乎没有出现过非用泰勒公式才能解出函数极限计算题（但

是有些题用泰勒会快很多）。所以，笔者认为，“能等价时先等价；当等价无穷小精度不够时，使用泰勒展开；

洛必达法则偶尔用用，可能会起到奇效”，让每个方法都能发挥自己最大的价值，才能最快速度的解出题目。

做个题而已，千万不要做出优越感来了。

对于函数极限的计算题，由于一个题目通常要综合用到各种方法，所以本讲义中函数极限的计算题不再细

致分类，希望大家见招拆招。以下数十道题目，只是粗略地分为第一组和第二组，其中第一组为基础难度，计

算量小，方法单一，但基本涵盖函数极限计算中的所有主流方法与技巧；第二组题目综合性稍强，计算量变大。

这几十道题目，希望大家认真做、反复做，尽量做到一题多解。

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凯哥考研数学专用讲义(习题部分)

第一组习题——入门训练

(本组习题不具体分类，都是一些很常规很容易的题目)

(1)(2)

(3)(4)

(5)(6)

(7)(8)

(9)(10)

(11)