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构造三角形中位线的常用方法练素养第9章中心对称图形——平行四边形
1234温馨提示:点击进入讲评A答案呈现
[2023·南京一模]如图,在菱形ABCD中,AC是对角线,E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF,交AC于点G.1
(1)求证:EF⊥AC;【证明】连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∵E,F分别为边AB,AD的中点,∴EF是△ABD的中位线.∴EF∥BD.∴EF⊥AC.
(2)若∠DAC=30°,AB=2,则EF的长为______.1
【点拨】
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.求证:2
(1)△BEF是等腰三角形;【证明】∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°.∵BD⊥AC,∴∠CFD=∠BFE=90°-22.5°=67.5°.又易知∠BEF=67.5°,∴∠BEF=∠BFE.∴BE=BF,即△BEF是等腰三角形.
【点方法】若已知一条线段的中点,可将另一线段延长一倍构造三角形的中位线解题.
3
【点拨】先判定四边形OCFD为菱形,找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时,PG取最小值.过点D作DM⊥AC于点M,过点G作GP⊥AC于点P,则GP∥MD,利用平行四边形的面积求DM的长,再利用三角形的中位线定理可求PG的长,进而可求解.【答案】A
[2023·东营](1)用数学的眼光观察如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点,求证:∠PMN=∠PNM.4
(2)用数学的思维思考如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F.求证:∠AEM=∠F.
【证明】由(1)知,PN是△BDC的中位线,PM是△ABD的中位线,∴PN∥BC,PM∥AD.∴∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM.又∵∠PNM=∠PMN,∴∠AEM=∠F.
(3)用数学的语言表达如图③,在△ABC中,ACAB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC的中点,连接MN并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD,若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明.
【解】△CGD是直角三角形.理由如下:如图,连接BD,取BD的中点P,连接PM,PN,∵N是CD的中点,M是AB的中点,P是BD的中点,∴PN是△BCD的中位线,PM是△ABD的中位线.
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