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[70分]解答题标准练(四)

1.(2019·汕尾质检)某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图.

该公司给出了两种日薪方案.

方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；

方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元.

(1)分别求出两种日薪方案中日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式；

(2)若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X(单位：元)的期望及方差；

②如果你要应聘该公司的销售员，结合①中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由.

解(1)方案1：日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝20n，n∈N；

方案2：日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(90，n≤5，n∈N，,20n－10，n5，n∈N.))

(2)①根据柱状图知，日销售量满足如下表格：

日销量(件)

3

4

5

6

7

概率

0.05

0.2

0.25

0.4

0.1

所以方案1的日薪X1的分布列为

X1

60

80

100

120

140

P

0.05

0.2

0.25

0.4

0.1

期望E(X1)＝60×0.05＋80×0.2＋100×0.25＋120×0.4＋140×0.1＝106，

方差D(X1)＝0.05×(60－106)2＋0.2×(80－106)2＋0.25×(100－106)2＋0.4×(120－106)2＋0.1×(140－106)2＝444；

方案2的日薪X2的分布列为

X2

90

110

130

P

0.5

0.4

0.1

期望E(X2)＝90×0.5＋110×0.4＋130×0.1＝102，

方差D(X2)＝0.5×(90－102)2＋0.4×(110－102)2＋0.1×(130－102)2＝176.

②答案1：由①的计算结果可知，E(X1)＞E(X2)，但两者相差不大，又D(X1)＞D(X2)，则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2.

答案2：由①的计算结果可知，E(X1)＞E(X2)，方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1.

(注意：根据日薪波动性大小应选择方案2，根据日薪工资期望大小应选择方案1，两种答案同样给分)

2.(2019·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b).

(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；

(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求△ABC的面积.

解(1)由正弦定理，得eq\f(2c－a,b)＝eq\f(2sinC－sinA,sinB)，

所以eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2sinC－sinA,sinB)，

即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，

cosAsinB－2cosCsinB＝2sinCcosB－sinAcosB，

cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosB＋2cosCsinB.

化简得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，

又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，

因此eq\f(sinC,sinA)＝2.

(2)由eq\f(sinC,sinA)＝2，得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，

得4＝a2＋4a2－4a2×eq\f(1,4)，

解得a＝1，从而c＝2.

又因为cosB＝eq\f(1,4)，且0Bπ，

所以sinB＝eq\f(\r(15),4).

因此S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4).

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB＝2DC＝4，PA＝PD＝DA＝2，平面PAD⊥平面ABCD.

(1)证明：平面PCB⊥平面ABP；

(2)求二面角D－PC－B的余弦值.

(1)证明如图，设E，F分别为AP，PB的中点，

过C向AB引垂线，垂足为Q，连接CF，DE，EF，

得EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，

故EF∥DC,EF＝DC，

∴四边形DEFC为平行四边形，

∴CF∥DE，

又PA＝PD＝DA，∴DE⊥AP，∴CF⊥AP，

由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，