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1965年全国高考数学试题及其解析

1．右面的二视图所表示的立体是什么?求出它的体积．

2．在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48的B处以速度

22/小时向正北方向行驶．甲船立即从A处出发，以速度

26/小时向北偏西a度的方向沿直线驶去，追赶乙船．问a

是多大角度时，经过一段时间，甲船能够在某处C恰好与

乙船相遇?(lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150;lg是以10为底的对

数符号.)

余弦对数表

3.把地球看作半径为R的球.设A、B两地的纬度相同，都是a度，它们的经度相

差β度(0°β≤180°).求A、B两地之间的球面距离（即大圆弧长）.

4.(1)证明│sin2x│≤2│sinx│.（x为任意值）

(2)已知n为任意正整数，用数学归纳法证明

│sinnx│≤n│sinx│.（x为任意值）

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5.已知一点P的坐标是(4，-2)，直线l的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是

此题的略图.

6.当p是什么实数时，方程x+px-3=0与方程x-4x-(p-1)=0有一个公共根?并求出

22

这个公共根.

7.已给抛物线y=2x.

2

(1)在抛物线上任取两点P(x，y)、Px，y).经过线段PP的中点作直线平行

1112(2212

于抛物线的轴，和抛物线交于点P.证明

3

(2)经过线段PP和PP的中点，分别作直线平行于抛物线的轴，和抛物线依次

1323

交于Q、Q.试将△PPQ与△PPQ的面积的和用y、y表示出来.

1213123212

(3)仿照(2)，又可以作出四个更小的三角形.照这样继续下去，可以作出一系列

的三角形.由此设法求出线段PP与抛物线所围成的图形的面积.

12

8.附加题：

(1)已知a、b、c为实数，证明a、b、c都为正数的充要条件是：

a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0.

(2)已知方程

x+px+qx+r=0

32

的三个根a、β、γ都是实数，证明a、β、γ是一个三角形的三个边长的充要

条件是：

1965年试题答案

1.解：右面的二视图所表示的立体是正六棱锥.

设这个六个棱锥的高是h，底面积是A，体积是V，则有

注：本题考二视图和计算棱锥的体积.

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余弦对数表

2.解：设甲船与乙船相遇所需要的时间为t，则有

BC=22t，AC=26t.

由正弦定理，得

对上式两边取对数，得

lgsin(49°48′-a)

=lg22-lg26+lgsin49°48

=1.3424-1.4150＋

=

查表得到

49°48-a=40°15.

∴a=49°48-40°15=9°33.

注：本题考解任意三角形的基本方法，并考查学生查表和运用对数计算的能力.

3.解法一：

设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则

(1)

设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.因为△PAB是等腰三角

形，所以A、B之间的直线距离

又在直角三角形OAP中，∠OAP=a，可知

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r=Rcosa.

又在等腰三角形OAB中，可以求得

代入(1)，得

答：A、B两地之间的球面距离为

解法二：

设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则

设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.在△PAB中，根据余弦

定理得A、B之间的直线距离的平方

AB=2r-2rcosβ=2r(1-cosβ).

2222

又在直角三角形OAP中，∠OAP=a可知

r=Rcosa.

所以