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《平面直角坐标系中的距离公式》教学设计二 (4).docxVIP

《平面直角坐标系中的距离公式》教学设计二 (4).docx

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《平面直角坐标系中的距离公式》教学设计二

教学设计

教学引入

教学内容

师生互动

设计意图

新课引入

在日常生活中存在着大量的关于两点间距离的问题,关于两点间距离的求解,也同样有许多方法,例如求天体中两颗星球间的距离;分子间距等,但不管是哪种方法都离不开数学计算.在数学领域计算两点间的距离的方法也有很多,比如用尺子度量,直角三角形中的勾股定理,三角函数等都可以解决两点间的距离问题,那么在平面解析几何中如何来求两点间的距离呢?

教师举出生活中求两点间距离的各种实例,让学生体会.

通过生活中求两点间距离的问题展示,让学生体会解决此问题的重要性,引入本课内容.

问题探究1

问题1:在平面直角坐标系中,求出下列各题中两点间的距离:

(1)A(3,0)与B(5,0);

(2)P(2,2)与Q(4,2);

(3)C(0,-1)与D(0,3);

(4)E(-1,-1)与F(-1,2);

(5)G(1,2)与H(4,5).

问题2:用类比法求解:如果已知平面直角坐标系中任意两点,用什么方法可以求它们之间的距离?

(参考上面第5小题的解法)

问题4:x轴上两点、y轴上两点、任意一点与坐标原点的距离各是什么?能否用上述点到直线的距离公式进行计算?

学生画图描点后分析,并进行小结.

学生小组讨论后写出解题过程,教师讲解

如图:

,

,

=,

即.

学生可举出几个实例进行分析,最后得出结论:两点间的距离公式与这两点的位置顺序无关.

学生交流,教师归纳.

我们发现这一公式适用于平面内的任意两点.

从几组特殊点入手,探究两点间的距离公式的特征,最后得出任意两点间的距离公式,提升直观想象和逻辑推理核心素养.

问题探究2

问题5:已知点,直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),如何求出点到直线的距离?

问题6:当A=0或B=0时,公式还成立吗?

学生自由讨论,提出解决问题的方法.

教师说明:为了体现研究的一般性,先假设直线l不与坐标轴垂直,即A≠0,B≠0.

第一种方法:教师帮助学生梳理思路,引导学生发现点到直线l的距离可转化为Q两点间的距离,其中Q为过点且与直线l垂直的直线与直线l的交点.根据两点间的距离公式,需要先求出直线Q的方程,再联立直线的方程求出Q点的坐标.

学生发现这种求点到直线的距离的方法思路虽然清晰,但计算繁杂.

第二种方法:利用教材第22~23页上直线的法向量的方法进行推导,发现可以减少运算量,且过程清晰自然.

教师先让学生自主验证具体情况(结合图(1)(2)),再点评总结,揭示公式的适用范围.

最后教师给出点到直线的距离公式:

点到直线Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)的距离

(其中A,B不全为0).

第一种方法比较繁杂,但可以让学生在知识、能力和意志品质方面得到提高,通过这种转化,培养学生的化归思想.

第二种方法借助了直线的法向量的相关知识,让学生认识到直线的法向量是一个研究直线方程相关知识的非常有用的工具.

问题探究3

引例:已知直线,,直线与是否平行?

问题7:能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离?

问题8:如何取点,可使计算简单?

学生回答:

因为,所以.

学生思考,回答问题.

分组讨论,展示讨论成果.

教师给出两条平行直线间的距离公式及适用条件:

两条平行直线,(其中A,B不全为0,且)间的距离.

公式适用的条件:一是直线方程必须是一般式;二是两直线方程中x,y的系数必须相同.

在探究的过程中,提升学生的逻辑推理核心素养.

应用举例

教材第21~24页例21~例24.

学生分组完成这4道例题,教师逐一讲解,注意易错的地方.

通过例题的学习巩固本节课所学的3个距离公式的应用,提升数学运算核心素养.

课堂小结

通过本节课的学习,你有什么收获?

教师提出问题,学生归纳小结,教师补充完善.

引导学生构建知识框架,从整体上把握本节内容.

布置作业

教材第22页练习第1~3题;教材第24~25页练习第1~4题.

学生独立完成,教师批阅.

通过练习巩固本节重点知识.

板书设计

1.6平面直角坐标系中的距离公式

一、课题引入

二、问题探究

1.两点间的距离公式

若两点为,则A,B两点间的距离公式为

2.点到直线的距离公式

点到直线Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)的距离公式为

(其中A,B不全为0)

3.两条平行直线间的距离公式两条平行直线,(A,B不全为0,且)间的距离公式为(A,B不全为0,且)

公式适用条件:一是直线方程必须是一般式;二是两直线方程中x,y的系数必须相同

三、应用举例

教材例21~例24

四、课堂小结

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