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§9.1 直线方程与圆的方程.pptx

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第九章直线与圆的方程§9.1直线方程与圆的方程高考理数(课标Ⅱ专用)

考点直线方程与圆的方程五年高考A组??统一命题·课标卷题组1.(2015课标全国Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=?()A.2?????B.8????C.4?????D.10

答案????C解法一:待定系数法(选标准方程形式求圆的参数).设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=?=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,则P(1,-2),|PA|=?=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2?,则|MN|=|(-2+2?)-(-2-2?)|=4?.解法二:待定系数法(选一般方程形式求圆的参数).设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标,得?解得?∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y2+4y-20=0,∴yM+yN=-4,yM·yN=-20.∴|MN|=|yM-yN|=?=?=?=4?.解法三:几何法(利用几何性质确定圆的参数).由已知得kAB=?=-?,kCB=?=3,所以kAB·kCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径为5,所以外接圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得y=±2?-2,所以|MN|=4?.

2.(2015课标全国Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆?+?=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为????.答案?????+y2=?解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线

的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=?,所以圆心坐标为?,则半径r=4-?=?.故该圆的标准方程为?+y2=?.思路分析先求出椭圆的顶点坐标,由圆心在x轴正半轴上和圆的性质确定圆心坐标,进而求

得半径得出结果.解后反思由弦的中垂线经过圆心这一性质确定圆心坐标,进而求圆的标准方程,本题若用圆

的一般方程求解运算量较大.

3.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交

于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由?得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+160,故x1+x2=?.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=?.由题设知?=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重

利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.解得?或?

4.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段

AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.

解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由?可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=?,x2=?,故x1x2=?=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为?·?=?=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=?.由于圆M过点P(4,-2),因此?·?=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-?.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为?,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.

当m=-?时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为?,圆M的半径为?,圆M的方程为?+?=?.解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利

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