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专题6二次函数与平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一,其图形复杂,知识覆盖面广,综
合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平
行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑
不周,很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题,常用的结论和方法有:线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐
标公式、画平行四边形.
1.平面直角坐标系中,点的坐标是,点B的坐标是,则线段AB的中点坐标是
A(x,y)(x,y)
1122
xxyy
1212
(,).
22
2.平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、,则,
(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)xxxx
AABBCCDDACBD
yyyy.
ACBD
第1页共91页.
3.已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内找到一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形
是平行四边形,有三种情况:
2
【例1】(2021•赤峰)如图,抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交
于点C,对称轴l与x轴交于点F,直线m∥AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点,过点E作EH⊥
m,垂足为H,交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.
(1)抛物线的解析式为;
(2)当四边形AHCE面积最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接EF,点P是x轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以F、E、P、
Q为顶点,以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理
由.
第2页共91页.
【分析】(1)利用待定系数法构建方程组求出b,c即可.
2
(2)如图1中,连接OE.设E(m,﹣m﹣2m+3).由题意AC∥直线m,推出△ACH的面积是定值,
因为S四边形AECH=S△AEC+S△ACH,推出当△AEC的面积最大时,四边形AECH的面积最大,构建二次函数,
利用二次函数的性质解决问题即可.
(3)如图2中,因为点Q在抛物线上EF是平行四边形的边,观察图象可知,满足条件的点Q的纵坐
标为±,构建方程求解即可.
2
【解析】(1)∵y=﹣x+bx+c与x轴交于(﹣3,0)、B(1,0),
∴,
解得,
2
∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3.
2
故答案为:y=﹣x﹣2x+3.
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