【学案】《6.3_空间点、直线、平面之间的位置关系（一）》.docVIP

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§3空间点、直线、平面之间的位置关系

LLL3.1空间图形基本位置关系的认识

LLL3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)

课程内容标准

学科素养凝练

借助于长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关的定义，了解基本事实1～3.

通过研究空间点、线、面的位置关系，提升数学抽象及直观想象素养.

1．空间图形的基本位置关系

(1)点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．点B在直线b上，但在直线a外，记作：B∈b，B?a．

(2)点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．点B在平面α内，点A在平面α外，记作：B∈α，A?α．

2．直线与直线、直线与平面的位置关系

(1)直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相交和直线与直线不相交．

直线a与直线l相交，记作：a∩l＝O，直线b与直线l不相交，记作：a∩l＝?．

(2)直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行．

直线a在平面β内，即直线上的每个点都在平面内，记作：a?β；直线l与平面α相交，记作：l∩α＝A；直线a与平面α无公共点，称直线a与平面α平行，记作：a∥α.a∥α?a∩α＝?．

3．平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相交和平面与平面相交．若平面α和平面β不相交，则称这两个平面平行，记作：α∥β.α∥β?α∩β＝?．

4．空间图形中的基本事实

基本事实

内容

图形

符号

作用

基本事实1

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α

用来确定一个平面

推论1：一条直线和该直线外一点，确定一个平面

推论2：两条相交直线确定一个平面

推论3：两条平行直线确定一个平面

基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α则l?α

用来证明直线在平面内

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l

用来证明空间的点共线和线共点

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A．(×)

(3)空间不同三点确定一个平面．(×)

(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)

2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是()

A[B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交．]

3．有以下结论：

①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；

④一个平面的厚度可以是0.001cm.其中正确的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

B[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．]

探究一三种语言间的相互转化

[知能解读]解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

用符号语言表示下列语句，并画出图形．

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．

解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①．

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②．

[方法总结]

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[训练1]如图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B．

在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P．

探究二空间点、线、面的位置关系

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，