专题16二次函数与几何变换综合问题（解析版）.pdf

专题16二次函数与几何变换综合问题

22

【例1】．（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x﹣2x+4﹣a的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、

B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB

分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标

轴平行．

（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛

物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

22

【分析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x﹣2x+4﹣a，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1

秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；

（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而

22

得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得2t+t﹣

22

1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得（t﹣1）＝3，解方程即可得出答案；

（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，

﹣1），过R和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得RM＝＝

，当n＝时，RM长度的最小值为，进而可得出答案．

22

【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x﹣2x+4﹣a，

第1页共77页.

解得：a＝﹣，

2

抛物线解析式为：y＝﹣x﹣2x+2，

当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），

则，

解得或（舍去），

∴P的坐标为（1，﹣2）；

（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，

由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），

由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），

矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，

然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，

22

将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得2t+t﹣1＝0，

解得：t＝，或t＝﹣1（舍），

22

将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x﹣2x+2，得（t﹣1）＝3，

解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．

所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，

时间t的取值范围是：≤t≤1+；

（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R（﹣m，﹣n），

当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），

过R和M作坐标轴平行线相交于点S，如