专题5二次函数与面积最值定值问题（解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题5二次函数与面积最值定值问题

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问

题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法面积的存在性问题常见的.

题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关

系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”

的方法．

图1图2图3

计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图，同高三角形的面积比等于底的比．

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图4图5图6

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【例1】．（2022•青海）如图1，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交

于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）

【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

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（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐

标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用

一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长；

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（3）又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为（t，t﹣2t﹣3），利用三角形的面积计算

公式，结合S△PAB＝6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标．

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【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x+bx+c，

得：，解得：，

2

∴该抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3．

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（2）∵抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3，

∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．

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当x＝0时，y＝0﹣2×0﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），

将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，

得：，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．

当x＝1时，y＝