专题32四边形与新定义综合问题 （解析版）.pdf

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专题32四边形与新定义综合问题

【例1】2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：

四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四

边形”．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．

①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．

22

②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD﹣CB＝5．

【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边

形ABCD是“对补四边形”．

【分析】（1）①设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，利用“对补四边形”的定义列

出方程，解方程即可求得结论；

②连接AC，利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；

（2）在DC上截取DE＝DA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的

性质和“对补四边形”的定义解答即可．

【解答】（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，

∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，

∵四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠A+∠C＝180°，

∴3x+x＝180，

∴x＝45°．

∴∠B＝2x＝90°．

∵四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠B+∠D＝180°，

∴∠D＝90°．

第1页共55页.

故答案为：90；

②连接AC，如图，

∵∠B＝90°，

222

∴AB+BC＝AC．

∵四边形ABCD是“对补四边形”，

∴∠B+∠D＝180°．

∴∠D＝90°．

222

∴AD+CD＝AC．

2222

∴AB+BC＝AD+CD，

2222

∴CD﹣CB＝AB﹣AD，

∵AB＝3，AD＝2，

2222

∴CD﹣CB＝3﹣2＝5．

故答案为：5；

（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，

∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠EDB．

在△ADB和△EDB中，

，

∴△ADB≌△EDB（SAS），

∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，

∵AB＝CB，

∴BE＝BC，

第2页共55页.

∴∠BEC＝∠C．

∵∠DEB+∠BEC＝180°，

∴∠DEB+∠C＝180°，

∴∠A+∠C＝180°，

∴四边形ABCD是“对补四边形”．

【例2】（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例

如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．

（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则

∠D＝55度．

（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．

①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；

②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．

（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，

点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的

运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．

（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠